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多体问题和近似方法
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$4-1 二体问题和多体问题
一、二体问题
1、什么是二体问题：
研究的体系含二个粒子。
2、两粒子体系的定态薛定谔方程为
（1）
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3、质多体问题和近似方法
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$4-1 二体问题和多体问题
一、二体问题
1、什么是二体问题：
研究的体系含二个粒子。
2、两粒子体系的定态薛定谔方程为
（1）
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3、质心坐标和相对坐标。
设：第一个粒子的质量为m1，坐标为
第二个粒子的质量为m2，坐标为
(坐标系略)
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根据质心坐标定义：
分量表示为
（2）
质心坐标为：
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所以分量
（3）
引入相对坐标
定义：
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其中
转换坐标
和
到
和
（从（2）和（3）出发）
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同理且对称。
同理有
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（4）
（5）
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（4）和（5）式代入（1）有
（6）
（7）
方程（7）可以用变量分离求解
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(8)
(8) 代入（7）并乘以
（9）
从（9）式即得：
（10）
平动
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（11）
相对运动
二 多体问题
1、什么是多体？两个以上质点的体系。数学上无准确解。
2、多体体系的波函数。
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3、
的意义：
在时刻t，第一个粒子在q1，第一个粒子在q2，…，
第n个粒子在qn的几率。
4、多体体系的薛定谔方程
5、 由于数学上无法对多体体系的薛定谔方程进行求，
必须引出用近似方法进行解决问题。（在下一节将作详细介绍）
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$4-2 全同性原理
一 全同粒子和全同粒子体系
1、全同粒子：质量、电荷、自旋等一切固有性质都相同的粒子。
2、全同粒子体系：多个全同粒子构成的体系。
二 全同粒子体系哈密顿算符的特点
1、交换算符（
）
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2、全同粒子体系的哈密顿算符
在
的作用下不变
3、
和
之间的数学关系
（对易）
(全同粒子体系的哈密顿算符对于任何一对粒子的坐标互换是不变的)
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三 全同粒子体系波函数的特点
1、
和
都是体系的可能状态
用
作用二边
结论得证。
（为什么？）
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2、全同性原理：
全同粒子体系粒子的任意两粒子的互换对换不改变体系的状态。
即：
和
表示同一态。
四、对称波函数和反对称波函数
因为
（1）
那么：
取值如何？
用
作用（1）式两边
（2）
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对称波函数
反对称波函数
五 Pauli 原理
微观粒子：
玻色子 自旋量子数为整数 对称波函数
费米子 自旋量子数为半整数 反对称波函数
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六、Slater 行列式
在单电子模型下，N个电子的波函数用一个行列式表示。
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七、有关slater 行列式的计算。
（一）H2的矩阵元计算。
1、Hamiltonian
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2、计算能量。
可分别计算：
上式可见，四项中，后两项为零。（正交性）
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同理，
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因为
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以自旋轨道：
以空间轨道：
计算的一般推导
库仑积分
交换积分
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$4-3 定态微扰理论
微扰理论的基本思想
1、基本思想
（1）真实体系
（1）
（2）微扰思想
（2）
分为二部分 且
例
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（3）
可以求解（已知）
（4）从
出发结合
（微扰项）近似的得到
和
2、基本数学关系式。
（零级） （7-1）
（一级） （7-2）
（二级） （7-3）
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二 非简并情况下的微扰理论。（即E’为非简并的）
1）零级微扰
2）一级微扰
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3) 二级微扰能量
计算例子见 WORD 文档 4
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三、简并情况