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从简谐运动到混沌
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从牛顿创立经典力学以来，决定论长期处于主导地位，按牛顿定律列出体系所遵从的运动微分方程，求出的解析函数表示运动学方程，
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从牛顿创立经典力学以来，决定论长期处于主导地位，按牛顿定律列出体系所遵从的运动微分方程，求出的解析函数表示运动学方程，，慧星何时来临，太空飞船如何飞行等等.
牛顿定律这种决定论的观点，因海王星的发现而登峰造极，其中，法国数学家拉普拉斯的一段名言把这种决定论思想发挥到了顶峰：
给定宇宙的初始条件我就能预言未来 .
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混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
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以状态参量 张成
的空间就称为相空间

m
积分
简谐运动的相图
自由小摆角
积分常数
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自由任意摆角
积分
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小阻尼小摆角
参看教材阻尼振动
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小阻尼任意摆角
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有阻尼有驱动力
参量值: 则由小到大取一系列数值进行数值计算
f＝
相图是闭环，单摆周期摆动
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f＝
单摆的摆动在两个驱动力周期内才恢复原状态，其频率为驱动频率的一半，称为二分频 .
f＝
随着 f 的增加，单摆运动又出现四分频、八分频…
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相图变得无序，相点随机地在某一位置出现，此时单摆已进入混沌状态
f＝
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f ＝
单摆运动是一倍周期的旋转.
一个周期内
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单摆做二倍周期旋转
f＝
f＝
单摆做四倍周期旋转
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相图又变得复杂无序，又出现混沌.
f＝
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相图有序，单摆做周期运动
f＝
f＝
相图无序又出现混沌
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混沌的基本特性
一个非线性系统并非在任何条件下都出现混沌运动，只有当某个参量到达某个阈值时系统才进入混沌状态，在此之前系统的运动可能出现周期性分岔。1978年费根鲍姆发现相继出现分岔的值的间隔趋于常数。
1、非线性系统中的特有现象
2、对参量的依赖性
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费根鲍姆第一常数
费根鲍姆第二常数
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3、对初值的极端敏感性
n
xn
x´n
1


2


3


4


…
…
…
52


53


…
…
…
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吸引子：
表示动力学系统当 时的渐近行为
奇怪吸引子
奇怪吸引子虽然复杂但有明确的边界，这个明确的边界保证体系在整体上存在稳定性，但在吸引子范围内相点出现的位置却完全随机。
混沌
极限环吸引子
不动点吸引子
平庸吸引子
小角度摆
阻尼摆
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洛仑兹吸引子——奇怪吸引子
巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，也有可能几个月之后在美国的德克萨斯州引起一场风暴。
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混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说： 　　丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
　　坏了一只蹄铁，折了一匹战马；
　　折了一匹战马，伤了一位骑士；
　　伤了一位骑士，输了一场战斗；
　　输了一场战斗，亡了一个帝国。
　　马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个