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代数学简史
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本科的代数类课程有三门：高等代数，近世代数和初等数论 （暂且列入） ．本次讲座谈谈代数课的发展历史思想方法和现代研究的方向．
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,任
何形式系统内不足以证明所有在系统中可以作出的
判断．体现在选举学中就是阿罗不可能性定理．
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二．数系的扩充和严格公理化定义
代数在中学中的基本内容之一是数的运算。整数、有理数、实数、复数，代数学中将这个体系完全建立起来了。
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数的自然扩充表：
正分数
零
正无理数
负数
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数的逻辑扩充表：
负元
乘法逆元
有理数基本列
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数系扩充的方法、要求原则
（1）新数系较原数系再保证运算通行方面，功能更完备。
（2）新数系的元素，以原有数系的元素为基础，以某种方式构作而成。
（3）原有数系整个地“嵌入”新数系，作为其子系统。
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实数
有理数
无理数
代数数
超越数
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三．代数方程的根式解和群
中学数学中涉及的古老数学研究的内容是解方程。
一元二次方程
求根公式为
一元三次方程
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根为：
其中 为三次单位根，
（卡尔达诺公式，1545年）
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四次方程
归结为两个二次方程的求解。（有求根公式，根式解）
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五次方程的根式解问题，经过一百多年都没有找到根式解公式．
Abel（1802-1829）研究了一般情况，想证明高于四次的方程一般没有根式解，但没有最终证出．只证明一些特殊情况下的结论．
伽罗华理论：伽罗华研究了这个问题，发现根式解的问题与根的对称性有关系．
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设 不可约的，
为其所有根。构造这些根的具有有理系数 的多元多项式：
构成一个环
设K中元素为
考虑K的自同构
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可以知道
K中具有性质*的所有双射成一个群，K的伽罗华群（p(x)的伽罗华群），它是 的子群。
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定理
相应的伽罗华群是可解群。
伽罗华理论是伽罗华21岁时提出的，论文寄给当时一流的数学家庞加莱，他没有看懂，丢在一边。40~50年后，才被发现．创立了群的理论，创立了近代的代数学．
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四．三等分角与数域的扩充
三等分角、倍方问题和化圆为方的问题被称为古希腊的三大几何作图问题．
几何的可作图问题被化为代数域的扩充问题来解决．这方面的知识是近世代数的内容，但其中的内容经初等知识处理后，成为高中新课程中的选修课．
平分已知角，可用尺规作图（尺子不带刻度）
三等分角，尺规来做，两千年都没能做出来，代数方法证明了尺规三等分角是不可能的．
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若想谈论尺规作图不能问题，要把含直观因素的尺规作图概念进行公理化（数学模型），用代数方法解决问题．
尺规作图是从已知一些初等几何图形，一些线段，一些点，而求出一些初等几何图形，线段，点等．
即，已知平面上的一些点，要求尺规作出另一些点来．
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取定某线段为单位长的坐标系，平面上的点可以用 表示。这样，尺规作图问题是：已知一些实数 ,要求用尺规作图作另一些数
尺规可以作出的是：
若干线段之和；
两线段之差；
已知三线段a,b,c,可作出x, 使a:b=c:x ；
已知二线段a,b,作y,使a:y=y:b.
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七．数学结构
研究数学无非是考察对象的运算关系，次序关系和相互间的位置关系，称这些关系是数学结构．
现代数学中的基本结构：代数结构，序结构，和拓扑结构．
代数结构