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第三章 优化设计
Optimization Design
本章主要内容
优化设计概述
优化问题的数学分析基础
一维探索优化方法
无约束多维问题的优化方法
约束问题的优化方法
多目标函数的优化方法
精品束条件的点称为非可行点（外点）
X在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束
X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用约束
起作用约束
设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即
一般形式：

用“max、min”表示极大、极小化，用“”表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式约束的个数，则表示如下形式：
本课程中，所有的优化设计问题都是求目标函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过转化变成极小值问题。
与此同时，所有的不等式约束都采用
的形式。
5. 优化设计问题的求解
（1）图解法
【例3】求解下列优化问题：
最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。
【例4】求解下列优化问题：
最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。
非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点；
非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；
线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；
一般情况下：
（2）数值迭代法
数值迭代法的基本思想：
从一个初始点 出发，按照一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，到达 ，再从 出发，选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到 ，并保证每一步函数值都是下降的，即必须满足 （这称为新点的适用性） ，这样一步一步地重复进行数值计算，直至达到目标函数的极小点。
无约束优化问题
初始点
用某种优化方法确定
确定前进步长
计算
检查
若不满足则改变步长，满足则进入下一步
从 出发
用某种优化方法确定
确定前进步长
计算
检查
若不满足则改变步长，满足则进入下一步
从 出发
用某种优化方法确定
确定前进步长
计算
检查
若不满足则改变步长，满足则进入下一步
从 出发
用某种优化方法确定
确定前进步长
计算
检查
若不满足则改变步长，满足则进入下一步
——第k个迭代点
——从第k个迭代点出发寻找下一个迭代点的搜索方向
——沿 前进的步长
基本迭代公式
由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近该函数理论最优点的近似最优点 。
2）约束优化问题
对于约束优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足 的约束条件，如果适用性和可行性兼备，再进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点 。
综上所述，采用数值法进行迭代求优时，除了选择初始点 以外，如何确定迭代方向 和步长
成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的效率、函数值逐步下降的稳定性和优化过程所需的时间等。
A. 点距准则
根据相邻两迭代点 与 间的距离足够小而建立的准则，点距准则可表示为
或
数值迭代终止准则（计算精度 的确定）
B. 值差准则
根据相邻的两迭代点的函数值下降量足够小而建立的准则。
绝对下降量准则：
相对下降量准则：
C. 梯度准则
根据迭代点的函数梯度达到足够小而建立的准则，表示为
或
迭代法必须要解决的三个问题
迭代算法具有收敛性；
在收敛性前提下，选择比较好的初始点X(0) 和适宜的终止判据及收敛精度 ；
选取使目标函数值下降较快的迭代探索方向 S(k) 和最优的迭代步长 α(k) ，确保较快的收敛速度。
如何确定S(k) 、α(k)
优化方法
优化设计的数学分析基础
优化设计的本质：求极值。
1. 函数的泰勒展开
为便于对多变量问题进行数学分析和求解，往往需要采用线性函数和二次函数替代简化目标函数。
（1）一元函数的f(X)泰勒展开：若f(x)在含有x(0)处的某个开区间内直到（n+1）阶可导，只要开区间（a,b）足够小,则该函数在（a,b）内x(0)点处的二阶泰勒展开式为：
（2）二元函数f(x1，x2) 的泰勒展开：
（3）多元函数f(x1，x2,… xn) 的泰勒展开：
（3