函数逼近与曲线拟合.ppt

函数逼近与曲线拟合
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函数逼近的基本概念
单变量数据拟合及最小二乘法
多变量数据拟合
非线性数据线性化
正交多项式拟合
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这些可以证明，正规方程组有惟一解。
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例3-1 已知一组数据如下表所示,用单变量数据拟合法求其拟合函数.
解
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
10
9
7
5
4
3
0
-1
先画出散点图.
从图中可以看到，点
在一条直线附近，
的近似函数.
这些点大体上满足直线方程。因此，可以选择线性函数来拟 合这些数据，即可以选取
作为
和
代入正规方程组得
解上方程组得到
于是，求得拟合函数为
把
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多变量数据拟合
若假设这些自变量为
和因变量为
，则每经过一次
，而经过n次实验
实验或测量就会得到一组数据
或测量就会得到n组数据，由这n组数据构成一个数据表:
多变量数据拟合法的一般过程是：先根据 数据表选择变量
与变量
的一个近似函数
，以反映
的函数关系，然后使用最小二乘法确定近似函数
。
中的未知参数，从而得到
通常称为拟合函数，
通常称为被拟合函数。
与变量
第m次实验或测量
x1
x2
…
xk
1
x11
x12
…
x1k
y1
2
x21
x22
…
x2k
y2
…
…
…
…
…
…
n
xn1
xn2
…
xnk
yn
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假定数据表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数
来近似表达
与变量
的函数关系.
把
代入线性函数
得到
从而
与
在
差为
而偏差的平方和为
处的偏
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据多元函数求极小值的方法，对
分别求关于
的偏导数并令其等于0，这样便得到
…
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整理化简后联立起来得到方程组
K+1个未知数的线性代数方程组，它也称为正规方程组。
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给定
的数据表，若数据表
与变量
的最小二乘拟合函数，则待定参数
可以证明：当
时，正规方程组有唯一解。
表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数
作为
是正规方程组的解。
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例3-2 已知一组测量数据如表所示，求其线性拟合函数。
据题意，选择线性函数
拟合给定数据表中的数据。
解
为待定参数
第m次测量
x1
x2
1
1
1
7
2
1
2
9
3
2
1
10
4
2
2
11
5
2
3
12
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而
把它们代入正规方程组得
从方程组解得
，
，
于是，所求的拟合函数为
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③ 解正规方程组
和
求出
④ 输出
多变量线性拟合法算法
① 输入数据
② 计算正规方程组的系数
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有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。
下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系
非线性数据线性化
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曲线拟合方程 变换关系 变换后拟合方程
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图(a)表示数据接近于直线，故宜采用线性函数
拟合；
图(b)数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式
拟合。
(a)
(b)
几种常见的数据拟合情况:
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图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜采用双曲线型函数或指数型函数

图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢,宜采用
或 或
等进行拟合。
( c )
( d )
或
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例3-3 某炼钢厂出钢时用的钢包（用来装钢水的容器）是用特殊耐火材料制成的，在使用的过程中，由于钢水及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容量随着使用次数