函数逼近与曲线拟合的最小二乘法.ppt

函数逼近与曲线拟合的最小二乘法
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第1页，本讲稿共29页
本节内容
曲线拟合
曲线拟合基本概念
最小二乘算法
最小二乘拟合多项式
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第2页，本讲稿共29页
给出一组离散点，确定一个简单函数近似原函数，多项, ..., xn}, 即 i = xi, 则相应的法方程为
此时 为 f(x) 的 n 次最小二乘拟合多项式
多项式最小二乘曲线拟合
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第12页，本讲稿共29页
例7
已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.
解
将所给数据在坐标纸上标出，
见图3-5.
图3-5
选线性函数作拟合曲线
令
这里
故
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解得
法方程
所求拟合曲线为
多项式拟合的Matlab现程序
其中输入参数 为要拟合的数据， 为拟合多项式的次数，
输出参数 为拟合多项式的系数.
上例的Matlab
多项式拟合
x=[1 1 2 3 3 3 4 5];
f=[4 4 6 6 6 8 ];
aa=poly(x,f,1);
y=polyval(aa,x);
plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)
xlabel(‘x’);
ylabel(‘y’);
gtext(‘y=s1(x)’）
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例：用 来拟合 ，w  1
解： 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2
7623
)
(
4
63
||
||
484,
||
||
1
=
=


-

=
B
cond
B
B
正交多项式与最小二乘拟合
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例：连续型拟合中，取
则
Hilbert阵！
改进：
若能取函数族={ 0(x), 1(x), … , n(x), … }，使得任意一对i(x)和j(x)两两（带权）正交，则 B 就化为对角阵！
这时直接可算出ak =
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正交多项式拟合
带权正交（离散情形）
给定点集 以及各点的权系数 ，如果函数族
满足
则称 关于点集 带权 正交
若 0, 1, , n 是多项式，则可得正交多项式族
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正交多项式拟合
用正交多项式做最小二乘
设多项式 p0, p1, , pn 关于点集 x0, x1, , xm 带权 0, 1, , m 正交，则 f(x) 在 Hn 中的最小二乘拟合多项式为
其中
k = 0, 1, …, n
误差
离散形式的 2-范数
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正交多项式的构造
给定 和权系数 ，如何构造正交多项式族
可以证明： 关于点集 带权 正交
三项递推公式：
k = 1, … , n-1
其中
( k = 0, 1, … , n-1 )
( k = 1, 2, … , n-1 )
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几点注记
可以将构造正交多项式族、解法方程、形成拟合多项式穿插进行；
n 可以事先给定，或在计算过程中根据误差来决定；
该方法非常适合编程实现，只用递推公式，并且当逼近次数增加时，只要将相应地增加程序中的循环次数即可。
该方法是目前多项式拟合最好的计算方法，有通用程序。
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例：用 来拟合 ，w  1
解：通过正交多项式 0(x), 1(x), 2(x) 求解
设
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
0
0
x
a
x
a
x
a
y
j
j
j
+
+
=
1
)
(
0
=
x
j
2
29
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
=
=
j
j
j
y
a
2
5
)
,
(
)
,