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函数项级数的一致收敛性
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一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,
但一般函数
项级数则不一定有这么好的特点.
例如, 级数
每项在 [0,1] 上都连续,
其前 n 项明:
对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上
任给  > 0,
欲使
只要
因此取
只要
即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
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维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法
用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
这往往比较困难.
下面介绍一个较方便的
判别法.
若函数项级数
在区间 I 上满足:
则函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
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证:
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
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推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
证:
则对[ a , b ] 上的一切 x , 都有
由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数
绝对收敛 ,
由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.
说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛,
则一致收敛
区间可包含此端点.
证毕
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例3.
证明级数
在(－∞, +∞) 上 一致收敛 .
证:
而级数
收敛,
由维尔斯特拉斯判别法知所给级数
在 (－∞, +∞) 上 一致收敛 .
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说明:
维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收
敛性,
而且能判别其绝对收敛性.
当不易观察到不等式
可利用导数求
例如, 级数
用求导法可得
已知
收敛,
因此原级数在[0, +∞) 上一致收敛 .
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二、一致收敛级数的基本性质
定理1.
若级数
证:
只需证明
由于
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因为级数
一致收敛于S (x) ,
使当 n > N 时, 有
对这样选定的 n ,
从而必存在  > 0 ,
从而得
证毕
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说明:
(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数,
极限运算与无限
求和运算可交换,
即有
(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数
在区间 [ 0 , 1 ] 上处处收敛,
而其和函数
在 x = 1 处不连续 .
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定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
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所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
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说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数
它的部分和
因此级数在 [ 0 , 1 ] 上
收敛于 S (x) = 0 ,
所以
但是
①
为什么对级数①定理结论不成立?
分析它是否满足
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定理2 条件.
级数的余项
可见级数①在 [ 0, 1 ] 上不一致收敛 ,
此即定理2 结论
对级数①不成立的原因.
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