第03讲函数的基本性质.doc

普通高中课程标准实验教科书—数学 ［人教版]
高三新数学第一轮复****教案（讲座3）—函数的基本性质
一．课标要求
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义;
2．结合）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I,使得f（x0) = M；
函数最大（小)应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的

x∈I,都有f(x)≤M（f（x)≥M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质(配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大(小）值：
如果函数y=f(x）在区间［a,b]上单调递增，在区间［b，c]上单调递减则函数y=f（x)在x=b处有最大值f（b）;
如果函数y=f（x)在区间［a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f（b)；
4．周期性
（1）定义:如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T）= f（x)，则称f（x）为周期函数;
（2）性质：①f（x+T)= f（x）常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T，则f(ωx）(ω≠0）是周期函数，且周期为。
四．典例解析
题型一：判断函数的奇偶性

例1．讨论下述函数的奇偶性:
解：（1）函数定义域为R,
，
∴f（x)为偶函数；
（另解）先化简：，显然为偶函数;从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2)须要分两段讨论：
①设
②设

③当x=0时f(x）=0，也满足f(－x)=－f（x）;
由①、②、③知,对x∈R有f(－x) =－f(x）， ∴f（x）为奇函数；
（3）,∴函数的定义域为,
∴f（x)=log21=0（x=±1) ,即f(x）的图象由两个点 A(－1，0）与B（1,0）组成，这两点既关于y轴对称,又关于原点对称，∴f(x）既是奇函数，又是偶函数；
（4）∵x2≤a2， ∴要分a >0与a 〈0两类讨论，
①当a 〉0时，
，∴当a 〉0时，f(x)为奇函数；
既不是奇函数，也不是偶函数。
点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变)。

例2．()设函数f（x）在（－∞,+∞)内有定义，下列函数：①y=－｜f(x）|;②y=xf（x2）；③y=－f（－x)；④y=f（x)－f（－x）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）
答案：②④;解析：y=（－x）f［(－x)2］=－xf（x2)=－y;y=f(－x）－f(x)=－y。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。
题型二:奇偶性的应用
例3．（2002上海春，4)设f（x）是定义在R上的奇函数,若当x≥0时，f（x)=log3（1+x），则f（－2）=____ _。
答案：－1；解：因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数,所以f（－x）=－f(x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。
点评:该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。
例4．已知定义在R上的函数y= f（x)满足f(2+x)= f(2－x），且f(x)是偶函数，当x∈[0,2]时，f(x）=2x－1,求x∈［－4,0]时

f(x）的表达式。
解：由条件可以看出，应将区间[－4,0]分成两段考虑：
①若x∈[－2，0]，－x∈[0,2］,
∵f(x)为偶函数，
∴当x∈［－2，0］时，f(x)= f（－x)=－2x－1,
②若x∈［－4，－2,
∴4+ x∈[0，2，
∵f(2+x)+ f(2－x）,
∴f（x）= f(4－x），
∴f（x）= f(－x）= f［4－（－x）]= f（4+x)=2（x+4)－1=2x+7;
综上，
点评:结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。
题型三：判断证明函数的单调性
例5．（2001天津，19）设，是上的偶函数。
（1）求的值；（2）证明在上为增函数。

解:（1）依题意，对