第21讲几何概型及随机模拟.doc

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版］
高三新数学第一轮复****教案（讲座21）—几何概型及随机模拟
一．课标要求:
1．理解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进展模拟)估计概率，初步影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。
解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。

例5．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作,他们的对讲机的接收范围为25公里,在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3:00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们可以通过对讲机交谈的概率有多大？
解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的间隔 ，
于是
那么他俩所有可能的间隔 的数据构成有序点对(x,y），这里x,y都在它们各自的限制范围内,那么所有这样的有序数对构成的集合即为根本领件组对应的几何区域,每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的间隔 不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式
的数对组成，此不等式等价于

右图中的方形区域代表根本领件组,阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为
，
于是有.
例6．(意大利馅饼问题）山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米,挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有时机赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼;当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时,可得到一个中馅饼；假设击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，假设击中靶上的其他部分，那么得不到谄饼,我们假设每一个顾客都能投镖中靶,并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上,试求一顾客将嬴得:
（a）一张大馅饼，
（b）一张中馅饼，
（c）一张小馅饼，
（d）没得到馅饼的概率

解析:我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图说明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。
；
;
；
。
题型3：体积问题
例7．（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。
解析：由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积和总体积之比，即2/400=0。005。

（2）假设在一个5万平方公里的海域里有外表积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假设在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?
解析:由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因此所求概率自然认为等于贮油海域的面积和整个海域面积之比,即等于40/50000=。
例8．在线段[0,1]上任意投三个点,问由0至三点的三线段,能构成三角形和不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。
解析:设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的 z
右端点坐标为x，y,z，显然这三条线 1 C
段构成三角形的充要条件是： A D
。
在线段[0,1]上任意投三点x,y，
0 1 y
，，中的点 1

一一对应,可见所求“构成三角形"的概率，等价于x B
边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在
区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC,ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所围成的区域G中的概率。由于 ，
由此得，能和不能构成三角形两事件的概率一样大。
题型4：随机模拟
例9．随机地向半圆（为正常数)内掷一点，点落在园内任何区域的概率和区域的面积成正比，求原点和该点的连线和轴的夹角小于的概率.
解析：半圆域如图
0yx
yx
a
x