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第30讲数列求和及数列实际问题.doc


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文档列表 文档介绍

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复****教案(讲座30)—数列求和及数列实际问题
一.课标要求:
1.探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法;
2.能在具体的问题情境中,发现的和,将所得两式相加,由此得到Sn的一种求和方法。
例6.设数列是公差为,且首项为的等差数列,

求和:
解析:因为,
,
.
点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列的前项和,是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立.
题型4:其他方法
例7.求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前n项和。
解析:本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数,故.
例8.求数列1,3+,32+,……,3n+的各项的和。
解析:其和为(1+3+……+3n)+(+……+)==(3n+1-3-n)。
题型5:数列综合问题

例9.( 2006年浙江卷)已知函数=x3+x2,数列 | xn | (xn 〉 0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:曲线y=在处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线平行(如图)。
求证:当n时:(I);(II)。
解析:(I)因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以.
(II)因为函数当时单调递增,

所以,即
因此
又因为
令则
因为所以
因此


点评:数列与解析几何问题结合在一块,数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系。
例10.(2006年辽宁卷)已知,其中,设,。
(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有。
解析:(I)由已知推得,从而有;
(II) 证法1:当时,
当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数。
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数,
所以对任意的,
因此结论成立.
证法2:当时,
当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数.
因函数为偶函数所以在[—1,0]上为减函数
所以对任意的

又因
所以
因此结论成立。
证法3:当时,
当x〉0时, ,所以在[0,1]上为增函数。
因为函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数.
所以对任意的

对上式两边求导得:

因此结论成立。
点评:数列与函数、导数结合在一块,考察数列是一种特殊的函数的性质,其中还要用到数列的函数性质来解释问题。
题型6:数列实际应用题
例11.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元;两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息

. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多?
(取)
解析:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列,
①甲方案获利:(万元),
银行贷款本息:(万元),
故甲方案纯利:(万元),
②乙方案获利:
(万元);
银行本息和:
(万元)
故乙方案纯利:(万元);
综上可知,甲方案更好。
点评:这是一道比较简单的数列应用问题,由于本息金与利润是熟悉的概念,因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解。

例12.(2005湖南20)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1与xn的关系式;
(Ⅱ)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
  (Ⅱ)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论。
解析:(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为 (II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,
从而由(*)式得:

因为x1>0,所以a〉b。
猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变。
(Ⅲ)若b的值使得xn〉0,n∈N*

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