第30讲数列求和及数列实际问题.doc

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复****教案（讲座30)—数列求和及数列实际问题
一．课标要求：
1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法;
2．能在具体的问题情境中,发现的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。
例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列,

求和：
解析:因为，
,
.
点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立.
题型4:其他方法
例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19,…前n项和。
解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，故.
例8．求数列1，3＋，32＋，……,3n＋的各项的和。
解析：其和为（1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋）==（3n＋1－3-n)。
题型5:数列综合问题

例9．( 2006年浙江卷)已知函数＝x3+x2,数列 | xn ｜ （xn 〉 0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过(0，0）和（xn,f(xn)）两点的直线平行（如图)。
求证：当n时：（I）；（II)。
解析:(I）因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以.
（II)因为函数当时单调递增，
而
所以,即
因此
又因为
令则
因为所以
因此

故
点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系。
例10．(2006年辽宁卷)已知，其中，设,。
(I) 写出；(II) 证明:对任意的,恒有。
解析：(I）由已知推得，从而有;
（II） 证法1:当时，
当x>0时, ,所以在[0，1]上为增函数。
因函数为偶函数所以在[－1,0]上为减函数,
所以对任意的,
因此结论成立.
证法2：当时，
当x>0时, ，所以在［0,1]上为增函数.
因函数为偶函数所以在［—1，0］上为减函数
所以对任意的

又因
所以
因此结论成立。
证法3:当时,
当x〉0时， ,所以在[0，1］上为增函数。
因为函数为偶函数所以在［－1，0］上为减函数.
所以对任意的
由
对上式两边求导得：

因此结论成立。
点评：数列与函数、导数结合在一块，考察数列是一种特殊的函数的性质，其中还要用到数列的函数性质来解释问题。
题型6：数列实际应用题
例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息

. 若银行两种形式的贷款都按年息5％的复利计算,试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取)
解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：（万元），
银行贷款本息：（万元),
故甲方案纯利：（万元），
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和:
（万元）
故乙方案纯利：（万元）；
综上可知，甲方案更好。
点评:这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念,因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解。

例12．(2005湖南20)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1＞，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b,c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ)猜测:当且仅当x1，a，b,c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明)
　 (Ⅱ）设a＝2，b＝1,为保证对任意x1∈(0,2），都有xn＞0，n∈N＊,则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。
解析：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II)若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N＊，
从而由（＊）式得:

因为x1>0,所以a〉b。
猜测：当且仅当a>b,且时，每年年初鱼群的总量保持不变。
(Ⅲ）若b的值使得xn〉0，n∈N*