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第3章全等三角形.docx


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第3章 全等三角形
3。6 勾股定理
〖教学目的〗
(-)知识目的
经历用数格子的方法探究勾股定理的过程,进一步开展学生的合情推力意识,主动探究的****惯,进一步体会数学和现实生活的严密联络。
(二)才能目的
1.在面积分别为4个,4个,8个单位面积.
[师]把三个图中A,B,C的面积分别填入上面的表格中,你能发现它们的关系吗?
[生]C的面积=A的面积+B的面积.
(表格略)
[师]很好!但是A,B,C的面积为什么会有这种关系呢?我们接着观察这三个图,你能发现什么?
[生]从图中我们可以发现:三个正方形好似是“长”在直角三角形的三边上.
[生]这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的.
[师]那么,(3)的结论即C的面积=A的面积+B的面积和三角形有什么关系?这个关系说明什么?大家可以讨论、交流.
[生]C是斜边上的正方形,所以C的面积是斜边的平方;A,B是两直角边上的正方形,所以A,B的面积分别是这两条直角边的平方.根据A,B,C的面积关系,我们不难发现:斜边的平方就等于两直角边的平方和.
[师生共析]根据图4,图5可填表如下:
 
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图4
16
9
25
图5
4
9
13
我们先来观察图4,不难看出A,B分别含有16个小方格,9个小方格,所以A、B的面积分别为16个单位面积,9个单位面积,但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂,我们可用以下几种方法求得:
第一种方法:将正方形C分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格,利用计算三角形面积的公式可得正方形C的面积为4×(×3×4)+1=24+1=25个单位面积.
第二种方法:直接数正方形C中含有多少个小方格,但需要适当的拼凑,在第一种方法中,我们将正方形分割成5部分,直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格,其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形,含有12个小方格,同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格,所以正方形C中共有12+12+1=25个小方格即C的面积为25个单位面积.
第三种方法:可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的边外翻,就得到一个边长为7个单位长度的正方形,这时正方形C
的面积就为(49-1)÷2+1=25个单位面积.
图5和图4同理.
我们从上表不难发现16+9=25,4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积.
[师]图4和图5中的三个正方形A,B,C也是由中间的直角三角形“长"出来的,你能从三个正方形的面积关系和直角三角形的三边联络吗?
[生]图4中的正方形A,B,C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方,根据三个正方形的面积关系,我们不难发现,在这个直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.由图5我们也可得出同样的结论.
[师生共析]通过特例猜测、检验,我们不难发现,直角三角形的三边的规律是成立的,这就是我们——勾股定理:假设直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.用符号语言表示为:在△ABC中,∠C=,那么.
古代人就对勾股定理有过深化的研究,几大文明古国都有相应的勾股定理的记载.我国是最早发现勾股定理的国家之一.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出,将一根直尺折成一个直角.
假设勾(即直角三角形中较短的直角边)等于3,股(即直角三角形中较长的直角边)等于4,那么弦(即直角三角形中的斜边)等于5,即“勾三、股四、弦五”,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中,在这本书中的另一处,还记载了勾股定理的一般形式.因此,我们也把勾股定理称为商高定理,而把商高称为“勾股先师”.在西方,把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理.相传二千多年,希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理,因此他们还举行了一次空前规模的庆贺活动,宰杀了一百头家畜.但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示.关于勾股定理的记载还有很多,勾股定理有着悠久的历史,它反映了古代人民的聪明才智.
练****在△ABC中,∠C=90°,
(1)假设a=3,b=4,那么c=_________________;
(2)假设a=6,c=10,那么b=_________________;
(3)假设c=34,a:b=8:15,那么a=_________________,b=_________________;
(4)假设b=5,∠B=30°,那么c=_________________.
解:(1)c=5;(2)b=8;(3)a=16,b=30.(

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