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运用米勒定理简解最大角问题
.米勒问题和米勒定理
1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表
面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长，即在什么部位，视角最大，最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第
的何处才使射门角度最大？
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解:依题意，由米勒定理知当
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例3（2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上
求一点，使最大,则点的坐标为」,,,。
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解：如图4,设直线与轴相交于点，则，因为，所以，所以，所以，由两点间的距离公式得，由米勒定理知，当且仅当
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时，最大，此时点的坐标为。
用米勒定理探索最大视角的条件
例4(2010年高考江苏理科第17题)某兴趣小组要测量电视塔的高度(单位:)，如示意图5,垂直放置的标杆的高度，仰角。(1)该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；(2)若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离(单位:)，使之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大，
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解:(2)设，由米勒定理知，当且仅当即？时，最大。又由得，？，??得,
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,将其代入？得，，所以，故当为时，最大。
点评：第(2)问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。
用米勒定理求最大视角或其三角函数值
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例5(2001年希望杯数学竞赛培训题)是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，
点，，求的最大值。
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解：如图6,易求得，不妨设为左准线交轴于点，则其方程为，，由米勒定理知，当且仅当
得
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时，最大。当最大值时，
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,因为，由差角的正切公式得，，所以最大值为。
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图6
更一般地我们有如下结论：
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例6设是椭圆的左右焦点，是椭圆准线上的动点，
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,椭圆的离心率是，则为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等
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证明：设准线交轴于点，则。由米勒定理知，当且仅当时，为锐角且最大。当最大值时，，又，由差角的正切公式得,
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