《数学分析》课件 第二章 函 数1.doc

第二章函数
1、研究一个连续量随另一个连续量连续变化的规律
2、给出初等函数的构造
要求掌握基本初等函数的主要性质及其图形.
§1 函数概念

,使得对于中的任一实数,存在唯一的实数与之对应,则称是定义在上的函数,记为
: 或: .
也可记为=(),
,称为因变量,这是因为可以自由地变而不可自由地变,它受到对应法则的约束,当变时按法则相应地变,记
() = {=|},
称()为函数的值域.
,另一个是对应法则。
两个函数相等指它们的定义域相同,且对应法则也相同。
一个数学公式一般可以给出一个对应法则,反之未必。
例如:一个对应法则,可以是某个符号,可以是图形,可以是表格
函数的图形:是平面上的点集
这意味着,对任意,在图形上,反过来,图形上的每一点,都对应于某个,其中.
几个特殊函数
1、取整函数定义域==(-,+),
对应法则:不超过的最大整数.
为方便,我们用符号[]表示不超过的最大整数,
则函数又可记为: =()=[], (-,+).
()=[]=4,
(-)=[-]=-5,
(-4)=[-4]=-4.

[]≤<[]+1 或 0≤-[]<1.

若记()=-[],(-,+).
则()是的小数部分,定义域为(-,+),值域为.


注意:
函数是一种对应法则,它不是数。符号:更明显地表示了这一点.
符号,
对每一个固定的,它是一个数,是在处取的值.
但如果理解可以取遍,那它也表示一个函数。
由于它还有便于计算的优点。因此,以后大多采用这种记号.
它既可表示函数,又可表示函数值。
2、绝对值函数=||=

这样定义的函数称为分段函数.
注意这不是两个函数,而是一个函数,函数的定义域为。
3、狄利克雷(Dirichlet,1806—1859)函数
=
定义域,值域={0,1}.
函数的图形无法画出来,自变量是连续量,而因变量则显然不是连续量。
这个函数在数学史上起过重要作用,它帮助澄清过许多慨念.
4、符号函数
绝对值函数可以用它表示为
函数的几个重要特性.
函数的奇偶性
二、函数的单调性
三、函数的周期性

一、函数的奇偶性
设是关于原点对称的,是定义在上的函数.
若,有,则称为奇函数;
若,有,则称为偶函数.
图形特点:奇函数的是关于原点对称,而偶函数是关于y轴对称.
例如, ,为奇数,为奇函数
为偶数,为偶函数(奇偶函数名称由此而来)
是奇函数,而是偶函数,它们的图形分别如下:


二、函数的单调性
,,
若<,有≤,则称在上单调上升或单调递增;
若<,有≥,则称在上单调下降或单调递减.
单调上升和单调下降函数统称为单调函数。若严格不等式成立,则分别称为严格单调上升和严格单调下降。
在(-,+)是严格单调上升的;
在(-,0)严格单调下降,在(0,+)是严格单调上升
在(-,+)不是单调的.
在(-,+)是单调上升的,但