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最新2022年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案).doc


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2022年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案)
2
     2022年普通高等学校招生全国统一考试 
天津卷〔理科〕
         第一卷
本卷共8小题,每题5分,共
所以有最小值.
解法3 .如图,,设为的中点,为的中点,那么,
,      ①
因为,.
那么
.   ②
〔实际上,就是定理:“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和〞〕
设为的中点,那么为梯形的中位线,.
设为的中点,且设,
那么,,,
代入式②得
  ,
12
于是,于是,当且仅当时,等号成立.
由式①,,
所以有最小值.
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题总分值13分) 函数,
(Ⅰ) 求函数的定义域与最小正周期;
(Ⅱ) 设,假设,求的大小.
【解】(Ⅰ) 函数的定义域满足,,解得,.
所以函数的定义域为.最小正周期为.
(Ⅱ) 解法1. 因为,所以
  ,
所以,
13
于是,
因为,所以,所以,
因而,,
因为,所以,所以,.
解法2.因为,所以  ,
,   

所以,
因为,所以,
于是,整理得
     ,
所以,因为,所以,因此.
解法3.,

15
因为,所以.
得.故.
于是.所以.
16.(本小题总分值13分)学校游园活动有这样一个游戏工程:甲箱子里装有个白球,个黑球,乙箱子里装有个白球,个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球,假设摸出的白球不少于个.那么获奖.〔每次游戏结束后将球放回原箱〕
(Ⅰ) 求在次游戏中,
  (ⅰ) 摸出个白球的概率;
(ⅱ) 获奖的概率;
(Ⅱ) 求在次游戏中,获奖次数的分布列及数学期望.
【解】(Ⅰ)  (ⅰ)设“在次游戏中摸出个白球〞为事件,那么

(ⅱ)设“在次游戏中获奖〞为事件,那么,

16
因为和互斥,所以.
(Ⅱ) 的所有可能值为



所以的分布列是
   
数学期望.
17.(本小题总分值13分)如图,在三棱柱中中,是正方形的中心,
16
,,且.
(Ⅰ) 求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ) 求二面角的正弦值;
(Ⅲ) 设为棱的中点,点在平面内,且,求线段的长.
【解】解法1.如下图,建立空间直角坐标系,其中点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴.
由题意,,,,,,.
(Ⅰ) ,.
所以.
(Ⅱ) ,,
设平面的法向量为,那么即
令,那么,..
设平面的法向量为,那么即
17
令,那么,..
于是,所以.
所以二面角的正弦值为.
(Ⅲ) 由为棱的中点,得,设点,
那么.
因为,那么

解得故.向量,
所以线段的长.
解法2.(Ⅰ)由于,故是异面直线与所成的角.
因为,是正方形的中心,,
18

所以,

因此.
(Ⅱ) 连接,因为及是的中点.那么,又,,所以

过点作于,连,于是,
所以为二面角的平面角.
在中,,
连,在中,,,
,从而.
所以二面角的正弦值为.
(Ⅲ) 因为,所以,取的中点,连接.
由于为棱的中点,所以,且.
又,故,
因为,所以,连接并延长交
20
于点,
那么.故.
由,得.
延长交于,可得,连接.
在中,,由直角三角形的射影定理,,
所以,.
连接,在中,.
18.(本小题总分值13分) 在平面直角坐标系中,点为动点,,
分别为椭圆的左右焦点,为等腰三角形.
  (Ⅰ) 求椭圆的离心率;
(Ⅱ) 设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程.
【解】(Ⅰ)设,.因为为等腰三角形,
假设,那么点在轴上,与矛盾,
20
假设,那么,,
由,有,即,或,不合题意,
所以,那么,,
由,有,即,〔舍去〕或.
所以椭圆的离心率为.
(Ⅱ) 解法1.因为,所以,.所以椭圆方程为.
直线的斜率,那么直线的方程为.
两点的坐标满足方程组
消去并整理得.那么,.
于是 不妨设,.
设点的坐标为.那么,
21

由得.那么
,.
由,得,
化简得.
将代入得,所以.
因此点的轨迹方程为,.
解法2.因为,所以,.
椭圆方程为.
直线的斜率,那么直线的方程为.
两点的坐标满足

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