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一元二次函数的图象
一、定义：
一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的一元二
，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的2a
因此，抛物线y
ax2
bxc的对称轴是x
b，顶点坐标是
2a
(
b
4ac
b2
2a
,
).
4a
(2)
c的大小决定抛物线y
ax2
bxc与y轴交点的位置.
当x
0时，
，∴抛物线
yax2
bx
c与
y
轴有且只有一个交点
(0
，c
：
yc
)
c0，抛物线经过原点;
c0,与y轴交于正半轴；
③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立 .如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则
0.
（2）a,b同号，对称轴在 y轴左侧，反之，再 y轴右侧
|x1-x2|=
b2
4ac,与y轴交点为(0,c)
a
2 2
b-4ac>0，ax+bx+c=0有两个不相等的实根
2 2
b-4ac<0，ax+bx+c=0无实根
b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根
二．四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条
件
若x＜y＜m﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0
┣﹣2a／b＜m
┗f(m)＞0
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若m＜x＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0
┣﹣2a／b＞m
┗f(m)＞0
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若x＜m＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：
若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0
┣m＜﹣2a／b＜n
┗f(m)＞0,f(n)＞0
若m＜x＜n＜y＜p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚，则需满足：┏f(m)＞0
f(n)＜0┗f(p)＞0
若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为x轴上的一点﹚，则需满足：┏△＝0
┗m＜﹣2a／b＜n
或f(m)·f(n﹚＜0
f(m)＝0
或
┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2
f(n)＝0
或
┗﹙n＋m﹚／2＜﹣2a／b＜n
五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
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①

y

ax2

；②

y

ax2

k；③

y

ax

h

2

；④

y

ax

h

2

k；⑤
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y ax2

bx

c.
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图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
ax2
当a
0时
x
0(y轴)
(0,0)
y
ax2
k
开口向上
x
0(y轴)
(0,k)
y
ax
h2
当a
0时
x
h
(h,0)
yaxh
2
k
开口向下
xh
(h,k)
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yax
2
bx
c
x
b
b
4ac
b2
(
2a
，
)
2a
4a
六、二次函数图像的变换规律：
抛物线y=a(x-h)
2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。
y=ax2（a＞0）的图像
沿轴翻折
y=-ax2（a＞0）
x
.
的图像
当h＜0时，向左平移个单位长度，当h＞0时，向右平移个单位长度y=a（x-h）2的图像
当k＞0时，向上平移个单位长度当k＜0时，向下平移个单位长度y=a（x-h）2-k的图像
写成一般形式
y=ax2+bx+c的图像
规律：在原有函数基础上“ h值正右移，负左移，k值正上移，负