常微分方程数值解法.ppt

绪论在工程和科学计算中,所建立的各种常微分方程的初值或边值问题,除很少几类的特殊方程能给出解析解,绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的,其主要原因在于积分工具的局限性。因此,人们转向用数值方法去解常微分方程,并获得相当大的成功,讨论和研究微分方程的数值解法是有重要意义的。?所谓微分方程数值解法,就是研究利用计算机求解微分方程的近似解的数值方法及相关理论。?《微分方程数值解法》是“信息与计算科学”专业的专业基础课程之一,与数值代数、数值逼近和计算几何统称三大核心课程。第一部分常微分方程数值解/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */ ?待求解的问题:一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ???????? 0)( ],[),(yay baxyxf dx dy 解的存在唯一性(“常微分方程”理论):只要 f (x, y ) 在[a, b ] ?R 1 上连续,且关于 y满足 Lipschitz 条件,即存在与 x, y 无关的常数 L使对任意定义在[a, b ] 上的 y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立,则上述 IVP 存在唯一解。|||),(),(| 2121yyLyxfyxf???解析解法:(常微分方程理论) 只能求解极少一类常微分方程;实际中给定的问题不一定是解析表达式,而是函数表,无法用解析解法。如何求解计算解函数 y(x ) 在一系列节点 a = x 0 < x 1<…< x n = b 处的近似值), ...,1()(nixyy ii??节点间距为步长,通常采用等距节点, 即取 h i = h(常数)。)1, ...,0( 1?????nixxh iii数值解法: 求解所有的常微分方程步进式:根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值,一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) n n n n n n n n n n y x y x hy x y x y y x y y h f x y ?? ??? ?? ?? ?? 1 ( , ) 0, 1,... n n n n y y h f x y n ?? ? ?--------Euler ’ s Method §1 欧拉方法/* Euler ’ s Method */ §1 Euler ’ s Method Taylor 展开法几何意义亦称为欧拉折线法/* Euler ’ s polygonal arc method */ 几何直观是帮助我们寻找解决一个问题的思路的好办法哦定义 在假设 y n = y(x n), 即第 n 步计算是精确的前提下,考虑公式或方法本身带来的误差: R n = y(x n +1 ) ?y n +1 , 称为局部截断误差/* local truncation error */。说明显然,这种近似有一定误差, 而且步长越大,误差越大, 如何估计这种误差 y(x n +1 ) ?y n +1? §1 Euler ’ s Method 截断误差: 实际上, y(x n ) ?y n,y n 也有误差,它对 y n +1的误差也有影响,见下图。但这里不考虑此误差的影响,仅考虑方法或公式本身带来的误差,因此称为方法误差或截断误差。局部截断误差的分析:由于假设 y n = y(x n),即y n准确,因此分析局部截断误差时将 y(x n +1 ) 和y n +1都用点 x n上的信息来表示,工具: Taylor 展开。?欧拉法的局部截断误差: 2 2 3 1 1 1 23 2 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( , ) ] ( ) ( ) h n n n n n n n n n hn R y x y y x hy x y x Oh y hf x y y x Oh ? ??? ??? ?????? ???? ? R n +1的主项/* leading term */