点集拓扑学拓扑知识点.doc

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第4章 连通性重要知识点
本定义4．1．3设Y是拓扑空间*的一个子集．如果Y作为*的子空间是一个连通空间，则称Y是*的一个连通子集；否则，称Y是*的一个不连通子集．
拓扑空间*的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与*的连通与否没有关系.)．因此，如果，则Y是*的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．
定理4．1．3 设Y是拓扑空间*的一个子集，A，BY．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间*中的隔离子集．
因此，Y是*的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在*中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．
证明 因为
因此根据隔离子集的定义可见定理成立．
定理4．1．4 设Y是拓扑空间*中的一个连通子集．如果*中有隔离子集A和B使得 YA U B，则或者 YA，或者 YB．
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证明 如果A和B是*中的隔离子集使得YAUB，则
这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而
〔A∩Y〕∪〔B∩Y〕＝〔A∪B〕∩Y＝Y
因此根据定理4．1．3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果 A∩Y=，据上式立即可见 YB，如果 B∩Y＝ ，同理可见YA．
定理4．1．5设Y是拓扑空间*的一个连通子集，Z*满足条件．则 Z也是*的一个连通子集．
证明 假设Z是*中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 *中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B．因此 YAUB．由于Y是连通的，根据定理4．1．4，
或者YA，
或者YB,同理,。
这两种情形都与假设矛盾．
定理4．1．6 设是拓扑空间*的连通子集构成的一个子集族．如果，则是*的一个连通子集．
证明 设A和B是*中的两个隔离子集，使得，＝A∪B．任意选取*∈，不失一般性，设*∈A．对于每一个γ∈Γ，由于连通，根据定理 4. 1． 4，或者或者 ；由于 *∈∩A，所以．根据定理 4． 1． 3，这就证明了是连通的．
定理4．1．7 设Y是拓扑空间*中的一个子集．如果对于任意*，y∈ Y存在*中的一个连通子集使得*，y∈Y，则Y是*中的一个连通子集．
证明 如果 Y=，显然 Y是连通的．下设 Y≠,任意选取a ∈Y，
容易验证Y＝并且a∈．应用定理4．1．6，可见Y是连通的．
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我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质〔参见§2．2〕．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的*一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．
拓扑空间的*种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质‘
拓扑空间的*种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．
以下定理4．1．8指出，连通性〔即一个拓扑空间是连通的这一性质〕是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．
定理4．1．8 设f: *→Y是从连通空间*到拓扑空间Y的一个连续映射．则f〔*〕是Y的一个连通子集．
证明 如果f〔*〕是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得
f〔*〕＝A ∪ B．于是〔A〕和〔B〕是*的非空子集，并且
所以 〔A〕和〔B〕是 *的非空隔离子集．此外，
〔A〕∪〔B〕＝〔A∪B〕= (f(*))=*
这说明*不连通．与定理假设矛盾．
拓扑空间的*种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间都具有