三次函数性质总结.docx

三次函数性质总结.docx精品文档
精品文档
精品文档
三次函数性质的探索
我们已经学****了一次函数 ，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在
最大值与最小值，在某一区间 取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？
利用已学过的知识得1
2
②当
2
时，该方程有两个等根：
x
=x=x，由下表可知
y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，
=4b-12ac=0
1
2
0
此时y=f（x）没有极值点；
x
(-∞,x)
x
0
（x，+∞)
0
0
f
/（x）+
0
+
f(x)
↗
↖
③当
=4b2-12ac＜0时，f
/（x）=0无实根，f(x)
没有极值点，结论得证。
：函数当且仅当b d 0时是奇函数。
b
b
))中心对称（了解）
4．对称性：函数图象关于点(,f(
3a
3a
证明：三次函数f
(
x
ax3
bx2
cx
d
关于点（m，n）对称的充要条件是f(mx)
f(mx)2n，
)
即
[a(mx)3
b(mx)2
c(mx)d]+[a(mx)3
b(mx)2
c(mx)d]2n，
整理得，(6ma2b)x2
(2am3
2bm2
2mc
2d)
2n
据多项式恒等对应系数相等
,可得
m
b且nam3
bm2
mcd=f(m)
f(
b)，
3a
b
3a
b))；
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是
(
,f(
3a
3a
精品文档
精品文档
精品文档
3
精品文档
精品文档
精品文档
证明：设函数 的对称中心为（ m，n）。
按向量 将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，所以
化简得：
上式对 恒成立，故 ，得 ， 。
所以，函数 的对称中心是（ ）。
实际上：其导函数为
f(x)3ax
2bxc
0
对称轴为
b，
2
所以对称中心的横坐标也就是导函数的对
x
3a
称轴，可见，y＝f(x)
图象的对称中心在导函数
y＝
的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二
阶导为零的点。
由上又可得以下结论：
y
f(x)是可导函数，若
y
f(x)的图象关于点(m,n)对称，则y
f'(x)图象关于直线xm对称.
证明
y
f(x)的图象关于(m,n)对称，则f(x)
f(2m
x)
2n,
f'(x)
f(x
x)
f(x)
lim
x
x
0
f'(2mx)
limf(2m
x
x)
f(2mx)
lim
2n
f(x
x)2nf(x)
x
0
x
x
0
x
lim
f(x)
f(x
x)
f'(x)
x
0
x
f'(x)图象关于直线xm对称.
若y
f
(x)图象关于直线x
m对称，则y
f'(x)图象关于点
(m,0)
对称.
证明
y
f(x)图象关于直线
xm对称，则
f(x)f(2m
x)，
f'