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大规模稀疏矩阵并行计算
李修宇
QQ：295553381
整理课件
2022/2/16
1
主流求解方法
直接法
GAUSS消去法
波前法
多波前法
迭代法
经典迭代法
Jacobi、SOR、SSOR
投影方法
CG、GMR大规模稀疏矩阵并行计算
李修宇
QQ：295553381
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2022/2/16
1
主流求解方法
直接法
GAUSS消去法
波前法
多波前法
迭代法
经典迭代法
Jacobi、SOR、SSOR
投影方法
CG、GMRES
预处理技术
不完全分解预处理条件
代数多重网格技术
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矩阵性质对求解的影响
性质
影响
非零元的分布
带状分布
按块分布
……
正定性
对称性
矩阵的存储方式
求解方法的选择
求解速度
……
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直接法
矩阵图重排：一般分为两大类，带宽缩减算法（也常称为外形缩减）和区域分解算法，应用较多的带宽缩减算法CM，RCM，GPS，Rosen算法。一般建议多重方法结合使用：全局方法的全局平衡性、局部方法的局部最优特性。
符号分解：确定非零元结构以及相应的消元索引，以便在实际数值分解前确定所需存储资源大小，避免数值分解中动态分配存储空间和复杂的索引策略。
构建消去树(elimination tree)：确定分解节点之间的分解依赖，即确定分解的顺序并构成并行分解的层次结构。
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直接法
数值分解：利用符号分解得到的非零元结构和索引沿消去树路径进行分解。
回代求解：包括前向（forward）和后向（backward）回代，可先构建消去依赖树或顶点着色技术实现并行回代求解。
在有限元领域应用最广的直接求解方法常使用带宽缩减或多区域分解的多波前法（multifrontal）。
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对称正定矩阵的求解
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对称矩阵的不完全分解
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代数多重网格法
V-Cycle AMG（V循环多重网格法）
W-Cycle AMG（W循环多重网格法）
FMG（完全多重网格法：嵌套网格与V循环或者W循环结合）
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8
代数多重网格法
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代数多重网格法
在粗网格上对残差方程进行求解（可用迭代法或直接解法）。
延拓或插值（interpolation）：将细网格节点上的值通过分片插值延拓到细网格节点上。
通过光滑的残差对解进行修正。
后光滑（post-smooth），类似于前光滑。
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代数多重网格法方法选择
对于非结构化网格形成的矩阵，SGS，SSOR方法不易并行，即使使用顶点着色技术，因其粗粒度的并行更适合于传统的多核处理器，并不非常适合GPU这样的细粒度并行的架构。
Jacobi方法不具有低通滤波性，因此推荐使用damp-Jacobi和PCG方法作为迭代子，其中damp-Jacobi方法的权值一般取为2/3。
在最粗网格上的计算推荐使用直接解法。
通常对于二阶椭圆边值问题，几何多重网格法具有更好的计算效率以及收敛速度。
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代数多重网格法方法选择
一般遵循两个原则：
对于某个顶点，其邻接顶点要么属于粗网格顶点，要么至少连接到一个粗网格顶点。
粗网格顶点集应是任意两个粗网格节点不相邻的极大独立集。
有时很难同时满足两个条件，优先满足第一个条件时尽量满足第二个条件。
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代数多重网格法方法选择
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代数多重网格法的局限性
任意几何网格不适用于所有问题。
需要高质量的网格划分。
不便于编写通用的程序。
重点要解决的问题：网格粗化（对应于粗水平方程组）。
常用的网格粗化方法复杂：RS，RS2，RS3，Falgout，HIPS，CLJP。
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大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索
内核执行的优化
在大循环中具有大量入口参数的内核，其不变的参数在循环开始前放入常量内存。避免多余的内存操作
合理的网格布局。
有时将一个大grid拆分成多个阶段小的grid将有助于提高网格利用率，提高计算效率，例如对称矩阵的分解以及三角方程组的计算。
寄存器优化
一个线程中计算输出多个变量，用寄存器内存替换共享内存。
在Fermi上，如果程序中存取操作占多数，则对于大于32bit的数据