王式安考研概率强化讲义啊.doc

第一讲
随机事件和概率
考试要求：数学一、三、四要求一致。
了解： 样本空间的概念
理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验
掌握： 事件的关系与运算，概率的根本性质，五大公式〔加法、减法、乘法、全概率、贝有根的概率。
例18．〔05〕从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，2，…，中任取一个数记为，则_____________。
第二讲
随机变量及其概率分布
考试要求：
理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度
掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布及它们的应用
会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。
数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件
§1 随机变量及其分布函数
一．随机变量
样本空间上的实值函数，。常用表示
二．随机变量的分布函数
对于任意实数，记函数，
称为随机变量的分布函数；
的值等于随机变量在取值的概率。
三．分布函数的性质
〔1〕，记为；
，记为。
〔2〕是单调非减，即时，
〔3〕是右连续，即
〔4〕对任意，有
〔5〕对任意，
性质〔1〕—〔3〕是成为分布函数的充要条件。
例 设随机变量的分布函数为，
其中是常数，求常数及。
§2 离散型随机变量和连续型随机变量
一．离散型随机变量
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。
二．离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量的可能取值是
称为的概率分布或分布律
分布律性质：〔1〕
〔2〕
分布律也可表示为
三．离散型随机变量分布函数
，
例1． 求
四．连续型随机变量及其概率密度
设的分布函数，如存在非负可积函数，有
，
称为连续型随机变量，为概率密度。
概率密度性质：
〔1〕；
〔2〕；
〔3〕，；
〔4〕的连续点处有。
例 和均为概率密度，则必满足
§3 常用分布
一．〔0—1〕分布
二．二项分布 . ，
三．超几何分布 ，，
四．泊松分布 ，
例 设*段时间通过路口车流量服从泊松分布，该时段没有车通过的概率为，则这段时间至少有两辆车通过的概率为________________。
五．均匀分布
例 设随机变量在上服从均匀分布，则方程
有实根的概率是_________。
六．指数分布 ，
七．正态分布 ，
，
标准正态分布
，，
如果，则
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕，
例 ，且，则___________。
§4 随机变量的函数的分布
一．离散型随机变量的函数分布
设的分布律，
则的分布律，
〔如果一样值，取相应概率之和为取该值概率〕
二．连续型随机变量的函数分布
1．公式法：的密度单调，导数不为零可导，
是其反函数，则的密度为
其中是函数在可能取值的区间上值域。
2．定义法： 先求
然后 。
§5 典型例题分析
例1．设随机变量的分布函数
求的值。
例2．设随机变量的分布律为
试确定常数的值。
例3．汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以表示汽车所遇红灯个数，求的分布及分布函数。
例4．〔04〕设随机变量服从正态分布，对给定的数满足
，假设，则等于
例5．在区间上任意投掷一点，为这点坐标，设该点落在中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求
的概率密度。
例6．，对进展三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
例7．〔06〕设随机变量服从正态分布，服从正态分布
且，则必有
例8．的密度，试求常数。
例9．设服从参数为2的指数分布，证明：随机变量服从。
例10．的密度为，，
求的概率密度。
例11．设随机变量的密度满足，是的分布函数，
则对任意实数有
例12．设随机变量的分布函数为，引入函数，，和，则可以确定也是分布函数为
例13．设且，则____________。
例14．设，则随的增大，概率
单调增大 单调减小
保持不变 非单调变化
例15．证明具有一样密度，则其分布函数一定满足。
例16．，且，，
求：〔1〕的概率密度； 〔2〕。
第三讲 多维随机变量及其概率分布
考试要求
理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，
边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。
边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。
掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量