简单的二阶微分方程.ppt

简单的二阶微分方程
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一、可降阶的二阶微分方程
解
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方程的特点：方程右端不显含未知函数y.
方程的解法：
,则
将它们
代入方程得
令
第3页，简单的二阶微分方程
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一、可降阶的二阶微分方程
解
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方程的特点：方程右端不显含未知函数y.
方程的解法：
,则
将它们
代入方程得
令
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解
代入原方程得
原方程通解为
[例 3]
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[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线．
分析
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解
将此两式相除，得
取原点O到点A的距离为定值
于是有
建立坐标系如图所示，设曲线方程为
由题意得
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，两端积分，得
将初始条件
代入①式，解得
代入①式，得
再将
将
代入上式，并积分得
将初始条件
代入②式，解得
将
代入②式，
解得曲线方程为
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小结



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思考题
求微分方程 的通解.
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思考题解答
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思考题解答
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练****题
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解
受力分析
二、二阶线性微分方程
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物体自由振动的微分方程
强迫振动的方程
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
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程称为二阶线性微分方程.
称为二阶线性齐次微分方程.
称为二阶线性非齐次微分方程.
1．二阶线性微分方程的定义
形如
这样的微分方程
/
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2．二阶线性齐次微分方程解的结构
问题:
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例如
线性无关;
线性相关.
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特别地:
例如
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3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
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三、二阶常系数线性微分方程
形如
这样的
微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
形如
这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．
例如
是二阶常系数齐次线性微分
方程；
是二阶常系数非齐次线性微分
方程．
／
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1．二阶常系数齐次线性微分方程解法
将其代入上方程, 得
∴
特征方程
特征根
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（1）有两个不相等的实根
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
特征根为
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（2）有两个相等的实根
一特解为
得齐次方程的通解为
特征根为
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（3）有一对共轭复根
重新组合
得齐次方程的通解为
特征根为
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的特征方程是
的通解
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解
的特征方程为
解得
故所求微分方程的通解为
[例1]
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[例2]
求微分方程
的特解.
解
的特征方程为
解得
所求微分方程的通解为
将
分别代入上两式，解得
所求微分方程的特解为
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解
特征方程为
解得
故所求通解为
[例3]
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小结
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根;
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
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练****题
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二阶常系数非齐次线性方程
对应的齐次方程
通解结构
两种类型
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
2．二阶常系数非齐次线性微分方程解法
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设非齐方程特解为
代入原方程
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综上讨论
设
是非齐次方程的解，
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解
对应齐次方程的通解
特征方程
特征根
代入方程, 得
原方程通解为
[例1]
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第37