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矩阵分析与应用
第六讲 Jordan标准型
信息工程学院
吕旌阳
2006-12-1
本讲主要内容
„ λ-矩阵的概念
„ 若当(Jordan)标准形
„ 欧式空间
2006-12-1
引入
由第五讲知,n维线性空间V的线性变换在某组基下
的矩阵为对角形⇔ T 有n个线性无关的特征向量.
⇔ T 的所有不同特征子空间的维数之和等于n .
可见,并不是任一线性变换都有一组基,使它在这
组基下的矩阵为对角形.
本节介绍,在适当选择基条件下,一般的线性变换
的矩阵能化简成什么形状.
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一、一、λλ-矩阵的概念-矩阵的概念
定义:
设K是一个数域,λ是一个文字,P[]λ是多项式环,
若矩阵A的元素是λ的多项式,即P[]λ的元素,则
称A为λ―矩阵,并把A写成 A().λ
注:
①∴数域∵ KP⊂[],λ K上的矩阵—数字矩阵也
是λ―矩阵.
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②λ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算,
其定义与运算规律与数字矩阵相同.
③对于nn× 的λ―矩阵,同样有行列式|()|,A λ
它是一个λ的多项式,且有
|()()||()||()|.A λ BABλλλ=
这里A(),()λ B λ为同级λ―矩阵.
④与数字矩阵一样,λ―矩阵也有子式的概念.
λ―矩阵的各级子式是λ的多项式.
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定义: 若λ―矩阵A()λ中有一个rr(1)≥级子式
不为零,而所有r + 1 级的子式(若有的话)皆为零,
则称A()λ的秩为r .
零矩阵的秩规定为0.
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λλ-矩阵的初等变换-矩阵的初等变换
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:
①矩阵两行(列)互换位置;
行变换:rri ↔ j 列变换: cci ↔ j
②矩阵的某一行(列)乘以非零常数 k;
行变换:kri 列变换: kci
③矩阵的某一行(列)加另一行(列)的p()λ倍,
p()λ是一个多项式.
行变换:rpi + ()λ rj 列变换:cpci + ()λ j
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二、二、λλ-矩阵的行列式因子-矩阵的行列式因子
行列式因子:Dk ()λ=最大公因式{ A () λ的所有k阶子式}
Dk ()λ
不变因子:dDk ()λλ= ()0 ()= 1
Dk−1 ()
初等因子:dk ()λ的不可约因式λ
注:考虑λ-矩阵λ IA−,可得A的最小多项式
Dn ()λ
md()λλ==n ()
Dn−1 ()λ
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−110
例:已知A =  430,求λ IA−的全体初等因子
 102
λ+ 11− 0
λλIA−=430 −
解:  D1 ()λ= 1
−10− 2
40λ
因为 43λ−= λ− 3与互质= 42()λ−
−10 −−12
λ
2
所以 D2 ()λ= 1DIA3 ()λλ= det( −=−) λλ( 2)( − 1)
2
不变因子为 ddd123(λ)= 1, (λλλλ)==−− 1, ( ) ( 1) ( 2)
全体初等因子为(1),(2)λ− 2 λ−
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例、求λ−矩阵的不变因子
2
λλλλ+ 00
100)()A = 
2()
00+ 1
λ
λλ− 21− 0 0
2 A =  0210λ−−
)() 00−− 21

 000λ− 2
λ
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