矩阵论1.3 欧氏空间与酉空间.pdf

第一章线性空间与线性变换(第 3 节) 37
§ 欧氏空间与酉空间
一、欧氏空间
:线性空间 V,数域 R,对∀x, y ∈V ,定义实数(x, y),且满足
⑴交换律()x, y = (y, x)
⑵分配律()x, y + z = (x, y)+ (x, z), ∀z ∈V
⑶齐次性()kx, y = k(x, y), ∀k ∈ R
⑷非负性()x, x ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ
称实数(x, y)为 x 与 y 的内积.
例①线性空间 n 中:
R x = (ξ1 ,L,ξ n ), y = (η1 ,L,ηn )
∆
内积:
1 ()x, y =ξ1η1 +L+ ξ nηn
∆
内积:
2 ()x, y h = h(ξ1η1 +L+ ξ nηn ), h > 0
②线性空间 R m×n 中: A = a , B = b
( ij )m×n ( ij )m×n
∆ m n
内积: T
()A, B = ∑∑aij bij = tr()AB
i==1 j 1
③线性空间C[a,b]中: f (t), g(t)是区间[a,b]上的连续函数
∆ b
内积: (f ()t ,g()t )= f ()t g()t dt
∫a
:定义了内积运算的实线性空间.
设欧氏空间 n 的基为对 n 有
V x1 ,L, xn , ∀x, y ∈V
n
x = ξ1 x1 +L+ ξ n xn 
⇒()x, y = ∑ξ iη j ()xi , x j
y = η1 x1 +L+ηn xn  i, j=1
令( )
aij = (xi , x j ) i, j = 1,2,L,n
则称为基的度量矩阵( ),此时有
A = (aij )n×n x1 ,L, xn Gram Matrix
第一章线性空间与线性变换(第 3 节) 38
η
n 1
x, y = a ξη= ξ, ,ξ A
()∑ ij i j (1 L n ) M 
i, j=1
ηn 
① A 对称: (xi ,x j )= (x j , xi )⇒ aij = a ji
∆
②正定: 不全为零
A ∀ξ1 ,L,ξ n ∈ R ⇒ x =ξ1 x1 +L+ξ n xn ≠θ
ξ1 
x, x > 0 ⇒二次型ξ, ,ξ A> 0 , 即 A 正定.
( ) ()1 L n  M 
ξ n 
③ V n 中不同基的度量矩阵是合同的:
基;基
(I): x1 ,L, xn (II): y1 ,L, yn
基到基的过渡矩阵为
(I) (II) C: (y1 ,L, yn ) = (x1 ,L, xn )C
yi = c1i x1 + L+ cni xn ,y j = c1 j x1 + L+ cnj xn
c1 j 

bij = ()yi ,y j = (c1i ,i )A M 

cnj 
()bi1 ,L,bin = (c1i ,i )AC
b11 L b1n c11 1 
B = =  AC = C T AC
 M M  M M 
bn1 L bnn c1n n 
④“内积值”的计算与基的选取无关:∀x,y ∈V n
x = ()x1 ,L, xn α 1 
⇒α 1 = Cα 2
x = ()y1 ,L, yn α 2 = (x1 ,L, xn )Cα 2 
y = ()x1 ,L, xn β1 
⇒β 1 = Cβ 2
y = ()y1 ,L, yn β 2 = (x1 ,L, xn )Cβ 2 
Τ
基(I)下: ()x, y = α 1 Aβ1
ΤΤ T Τ
基(II)下: ()x, y = α 2 Bβ 2 = α 2 C ACβ 2 = α 1 Aβ 1
∆
:欧氏空间 V,∀x ∈V ,称 x = (x, x)为 x 的模(长度).
第一章线性空间与线性变换(第 3 节) 39
①∀k ∈ R, kx = k x
②()x, y ≤ x y ; x ≠θ, y ≠θ时,等号成立⇔ x , y 线性相关.
2
证∀t ∈ R, x − t y ∈V ⇒ x − t y = (x − t y, x − t y)