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第六章广义逆矩阵 1
第六章广义逆矩阵
§ 投影变换
一、投影变换: 中,子空间 L 与 M = L ⊕ M , 对∀x ∈ Cn ,
分解式 x = y + z , y ∈ L, z ∈ M 唯一. 称变换TL,M (x) = y 为沿着 M 到
L 的投影变换, 称 y 为 x 沿着 M 到 L 的投影.
性质⑴ TL,M 是线性变换.
n
证∀x1 ∈ C , x1 = y1 + z1 , y1 ∈ L, z1 ∈ M 唯一⇒ TL,M (x1 ) = y1
n
∀x2 ∈ C , x2 = y2 + z2 , y2 ∈ L, z2 ∈ M 唯一⇒ TL,M (x2 ) = y2
因为 x1 + x2 = ()y1 + y2 + (z1 + z2 ), y1 + y2 ∈ L, z1 + z2 ∈ M 唯一
所以 T(x1 + x2 ) = y1 + y2 = T(x1 ) + T(x2 )
又 kx1 = ()ky1 + (kz1 ), ky1 ∈ L, kz1 ∈ M 唯一
所以 T(kx1 ) = ky1 = k ⋅T(x1 )
性质⑵ R(TL,M ) = L, N (TL,M ) = M .
证(1) ∀x ∈ L ⊂ Cn : x = x + θ, x ∈ L, θ∈ M 唯一
故 x = TL,M (x) ∈ R(TL,M ) , 即 L ⊂ R(TL,M );
n
∀x ∈ C , 由TL,M (x) ∈ L 可得 R(TL,M ) ⊂ L .故第一式成立.
(2) ∀x ∈ M ⊂ Cn : x = θ+ x, θ∈ L, x ∈ M 唯一
故 TL,M (x) = θ⇒ x ∈ N (TL,M ), 即 M ⊂ N (TL,M );
∀x ∈ N (TL,M ),若 x ∉ M , 则有
x = y + z , y ∈ L, z ∈ M 唯一,且 y ≠θ
于是TL,M (x) = y ≠θ, 矛盾. 因此 x ∈ M , 从而 N (TL,M ) ⊂ M .
故第二式成立.
第六章广义逆矩阵 2
性质⑶∀x ∈ L ⇒ TL,M (x) = x ,∀x ∈ M ⇒ TL,M (x) = θ.
n
证∀x ∈ L ⊂ C : x = x + θ, x ∈ L, θ∈ M 唯一⇒ TL,M (x) = x
n
∀x ∈ M ⊂ C : x = θ+ x , θ∈ L, x ∈ M 唯一⇒ TL,M (x) = θ
[注] L = R(TL,M )是TL,M 的不变子空间⇒ TL,M 是 L 中的单位变换
M = N (TL,M )是TL,M 的不变子空间⇒ TL,M 是 M 中的零变换
二、投影矩阵
取线性空间 n 的基为时,元素与它的坐标“形式一致”.
C e1 ,L,en x
称TL,M 在该基下的矩阵为投影矩阵,记作 PL,M .
性质⑷ TL,M (x) = y ⇔ PL,M x = y
x ∈ L ⇒ TL,M (x) = x ⇒ PL,M x = x
x ∈ M ⇒ TL,M (x) = θ⇒ PL,M x = θ
预备: R(A) = { y y = Ax, x ∈ Cn }, N(A) = { x Ax = 0, x ∈ Cn }
2
引理 1 An×n , A = A ⇒ N (A) = R(I − A).
证 A2 = A ⇒ A(I − A)= O .
先证 R()I − A ⊂ N (A):
∀x ∈ R()I − A ⇒∃u ∈ Cn ,st . x = (I − A)u
Ax = A()I − A u = θ⇒ x ∈ N (A)
再证 N(A) ⊂ R(I − A) :∀α∈ N(A) ⇒ Aα= θ
α= α− Aα= (I − A)α∈ R(I − A)
故 N(A) = R(I − A) .
2
Th1 方阵 P = PL,M ⇔ P = P .
证 = L ⊕ M
第六章广义逆矩阵 3
n
∀x ∈ C , x = y + z, y ∈ L, z ∈ M 唯一⇒ PL,M x = y
性质(4)
2
PL,M x = PL,M ()PL,M x = PL,M y = y = PL,M x
2 2 2
P x = Px ⇒ P (e1 ,L,en ) = P(e1 ,L,en ) ⇒ P = P
充分性.∀x ∈ Cn ⇒ x = Px + (I − P)x
引1