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中考数学专题特训第十四讲:二次函数的同象和性质(含详细参考答案).doc
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中学教育
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中考数学专题特训第十四讲:二次函数的同象和性质(含详细参考答案).doc
2013年中考数学专题复****第十四讲 二次函数的同象和性质
【基础知识回顾】
二次函数的定义:
一般地如果y= (a、b、c是常数a≠0)那么y叫做x的二次函数
【赵老师提醒: 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠012代入解析式即可.
解:①∵△=4m2-4×(-3)=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;
②∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=-≥1在直线x=1的右侧(包括与直线x=1重合),则≥1,即m≥1,故本选项错误;
③将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即(x-1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;
④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,∴对称轴为x==1006,则=1006,m=1006,原函数可化为y=x2-2012x-3,当x=2012时,y=20122-2012×2012-3=-3,故本选项正确.
故答案为①④(多填、少填或错填均不给分).
点评:本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点,综合性较强,体现了二次函数的特点.
对应训练
2.(2012•河北)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;
其中正确结论是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
1.解:①∵抛物线y2=(x-3)2+1开口向上,顶点坐标在x轴的上方,∴无论x取何值,y2的值总是正数,故本小题正确;
②把A(1,3)代入,抛物线y1=a(x+2)2-3得,3=a(1+2)2-3,解得a= ,故本小题错误;
③由两函数图象可知,抛物线y1=a(x+2)2-3过原点,当x=0时,y2=(0-3)2+1=,故y2-y1=,故本小题错误;
④∵物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),
∴y1的对称轴为x=-2,y2的对称轴为x=3,
∴B(-5,3),C(5,3)
∴AB=6,AC=4,
∴2AB=3AC,故本小题正确.
故选D.
考点三:抛物线的特征与a、b、c的关系
例3 (2012•玉林)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:
①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,
则正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
思路分析:由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,故选项①错误;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项②正确;由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误;令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确,即可得到正确的选项.
解:由抛物线与y轴的交点位置得到:c>1,选项①错误;
∵抛物线的对称轴为x==1,∴2a+b=0,选项②正确;
由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac>0,即b2>4ac,选项③错误;
令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0,
∵方程的两根为x1,x2,且=1,及=2,
∴x1+x2==2,选项④正确,
综上,正确的结论有②④.
故选C
点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
对应训练
3.(2012•重庆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为x=.下列结论中,正确的是( )
A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a+c<2b
3.D
3.解:A、∵开口向上,
∴a>0,
∵与y轴交与负半轴,
∴c<0,
∵对称轴在y轴左侧,
∴<0,
∴b>0,
∴abc<0,
故本选项错误;
B、∵对称轴:x==,
∴a=b,
中考数学专题特训第十四讲:二次函数的同象和性质(含详细参考答案) 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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