量子的力学：氢原子理论2.ppt

氢原子的量子力学处理方法氢原子的量子力学处理方法1、氢原子的薛定谔方程势能re)r(U024????此势能与时间无关,电子处于定态。应用定态薛定谔方程:0222??????)UE(m?§§ 氢原子的量子理论氢原子的量子理论(2)(2)氢原子中电子满足的薛定谔方程是:0420222????????)reE(m?22222222sin1)(sinsin1)(1????????????????rrrrrr????在球坐标下:目的是:对于任意给定的E 值,找出满足标准条件的上述方程的解,在求解过程中自然地得到一些量子化条件。),,r(???04211202222222222??????????????????????????????????????????????????reEmsinrsinsinrrrr?球坐标下的氢原子的定态薛定谔方程:θr,zθr,yθrxcossinsincossin?????0?E束缚态令:),(????Y)Θ(θ)Φ(R(r))ψ(r,θ,???代入方程,分离变量2202222221sinsin14sin2sin?dΦd)dθdΘθ(dθdθΘ)rπεeθ(Erm)drdR(rdrdRθ???????方程成立条件是两边同为一常数,2lm令:得:2221lmdd?????⑴???lime21)(??20222222)(sinsin1)4(sin2)drdRr(drdRsinlmddddreErm???????????????将⑵式在分离变量,令常数为)1(?ll⑵)1()4(2)(02222????llreErmdrdRrdrdR???1⑶)1()(sinsin1sin22?????llddddml?????⑷氢原子的定态方程变成了三个分离变量方程即每个方程只含有一个变量,??,,r求解过程很复杂。在求解的过程中,有波函数标准条件的要求,我们可以的到一些量子化条件氢原子的波函数为:氢原子的波函数为:EtiEtierRerrt?????????)()()(),,(),,,(???????)能量量子化)能量量子化求解R( r )时,为了使波函数满足标准条件,则电子(或说是整个原子)束缚态的能量只能是分立的。),,n(nmeEn??321132222024?????nn称为主量子数称为主量子数。能级间隔随n 增大而很快地减小,最低的能级(n=1)称为基态。n=2的能级称为第一激发态。??22)角动量量子化)角动量量子化即原子中电子绕原子核旋转的角动量也是量子化的。)n(,,l)l(lL12101??????称为角量子数或副量子数称为角量子数或副量子数。对应同一个n 值,有不同的取值,但可取n 个值;所以能量相同的电子的角动量可不同。ll如氢原子的n=4 能级3210,,,l??6543210,,,,,,l?量子态:角量子数:?ihgfdps求解时得到量子数与有关,它体现电子轨道角动量的大小( )??( )??l33)角动量分量量子化)角动量分量量子化角动量沿空间某一方向,如沿Z轴正向的分量也是量子化l,,,mmLllz???????210称为磁量子数称为磁量子数,对一定的,可取个值。此角动量量子化表示了氢原子中电子的角动量特性。lmllm12?l当存在外磁场时,即原子是放在外磁场中时,一般地把Z 轴选择为外磁场的方向,所以称为磁量子数。lm求解得( )?????lime21)(??角动量在空间可能有5个取向当n 、l、m 三个量子数一定,能量E、角动量L和角动量在外磁场方向的分量Lz都具有确定的值,此时氢原子的状态可用波函数表示。?????,,rnlm),()()()()(),,(???????lmnlmlmnlnlmYrRrRr????其中:)r(Rnl为径向函数;),(Ylm??为球谐函数例:l=2 时0Z,B?2??-?2-21026?????,,mlL???2,,0???ZL),(Y)r(R),,r(lmnlnlm??????lm????,,2,1,0??,3,2,1?n)1(,,2,1,0??nl?波函数(空间)的解为:??area),(Y)r(R???300101001?????????coseara),(Y)r(Rar231021210321???其中:这里:3、讨论:简并度:同一个能级所对应的状态(波函数)称为能级的简并度。氢原子,能级仅与n有关,简并度:()2n