猜想、规律与探索.doc

第39章 猜测、规律和探究
一 、选择题
1. （2020浙江省，10,3分)如图,下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现:图A2比图A1多出2个“树枝"， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝M。
∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°.
∴∠5=10°-∠6=120°。………………②
由①②得∠MCN=∠5。
在△AEM和△MCN中，
∵__________,____________，___________，
∴△AEM≌△MCN（ASA）.
∴AM=MN。
(2)假设将试题中的“正三角形ABC"改为“正方形A1B1C1D1"(如图），N1是∠D1C1P1的平分线上一点,那么当∠
A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案,不需要证明）
（3)假设将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”,请你猜测：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）
【答案】解:（1）∠5=∠MCN，AE=MC,∠2=∠1;
（2）结论成立;
（3).
3. （2020四川成都，23，4分)设，，,…，
设，那么S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．
【答案】．
==
=
∴S=+++…+.
接下去利用拆项法即可求和．
4。 (2020四川内江,加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为1
2+22+32+…+n2．但n为100时,应如何计算正方形的详细个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先,通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+（n—1）×n=n(n+1)（n—1）时，我们可以这样做:
(1）观察并猜测：
12+22=(1+0)×1+（1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+（0×1+1×2)
12+22+32=(1+0)×1+（1+1)×2+(1+2)×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
12+22+32+42=(1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+
=(1+2+3+4)+（ )
……
(2）归纳结论：
12+22+32+…+n2=(1+0）×1+(1+1)×2+（1+2)×3+…+[1+（n-1)］n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n一1）×n
=（ ） +［ ］
= +
=×
（3）理论应用:
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时,正方形网格中正方形的总个数是 ．
【答案】（1+3）×4
4+3×4
0×1+1×2+2×3+3×4
1+2+3+…+n
0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n
n（n+1）（n-1）
n（n+1）(2n+1)
5。 （2020广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开场的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数;
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；
（3）求第n行各数之和．
【解】(1）64,8，15;
（2)，，；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7;第4行各数之和等于7×7—13;类似的，第n行各数之和等于=.
6。 （2020四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法那么：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如,在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1,3，3,1,恰好对应着展开式中的系数等等。
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