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设X为一个线性定义空间,即对加法满足:1)x+y=y+x (交换律) 2)(x+y)+z=x+(y+z) (结合律)x x? ??? 3)存在零元,即,?4)存在逆元 x+x'= x'记为-x对数乘满足:? ?? 5)1 x=x, 0 x=? ??? 6) ( x)= x (结合律)x y??? ??? 7)( )x= (数乘分配律)? ??8) (x+y)= x+ y (数乘分配律) Banach空间空间1?若对任意x X,有一个确定的实数 x 与之对应,并满足:??1 x X, x 0, x 0 x 0 ?? ????且 ;??? ?????2 x及数, x x ;??3 x, y X, x y x y? ????,,?则称 x 为x的称(x范数, 线性)为赋范空间。完备的线性赋范空间称为Banach空间。( , , ..., )? ?n n1 2 n1)在n维欧氏空间R中, x R,???n2nii 1令 x x , 则 x 成为R 中的范数,( , )?nR为一个Banach空间。2??????x , x(t)??t a,b 2) 在C a,b中, = max x(t) C a,b。i 1 2 nx x , m???? ?????1 i 3) 在m中, = sup , ( ,…, ,…) 。C[a, b], m Banach则 都是空间。x对范数,可以理解为从原点到x之间的“距离”,有了范数的概念,我们可以引入任意的点之间的距离,( )?令 x,y = x-y 容易验证,这个距离满足距离的三条公理。第一,二公理是显然的,现证明第三公理-三角不等式:3X Banachf : X R?设为 空间, 为一定义个泛函。1 2 1 2 1 2x , x X, f (x x ) f (x ) f (x ) ? ????(1)若 ;, ( ) ( )?? ??? R f x f x ;则称f为x上的线性泛函。, ( )?? ?(2) 若 x X 存在一个正数M,使 f x M x ,则称f为X上的有界泛函。????n n nx x X, x x f x f x? ? ?(3)若对任意, 时,必有,f X则称为上的连续泛函。?设x,y,z X,有x, y) x y x z z y? ??????( x z z y (x, z) (z, y)? ???????4nni ii 1 R x y y??? 中的内积: x,y ,若对固定的,? ?x X, 就有一个 x,y 与此对应,所以我们可以把nx,y看作R 中的一个泛函:( )?? ??ni ii 1 y x x,y x y( )? ????1 2 1 2 1 2由于 y x x x x ,y x ,y x ,y( ) ( )? ?1 2y x y x ;( ) ( )? ??????y x x,y x,y y x? x,y是线性泛函。y x y M ? ? ?由于 x,y ,令 ,? x,y也是有界泛函。由定义知 x,y 还是连续泛函。5( , , , )?n1 2 n商品空在经济学中,如果间,把 R 作为 x x x …x???ni ii 1有界线性泛函 x,y x y ,价格就是在体系y中购买商品x应付的值。( , , ..., )?1 2 n看作 y y y y 看作相应商品束, 价的格束,则一般来说,商品空间是一个Banach空间,那末这个空间上的有界线性泛函就是价商品空间的格系统,不同的线性泛函y就是不同的价格体系。正因为如此,所以我们要研究Banach空间中的有界线性泛函,即价格系统。6:? ?设X 空间,f x R线性泛