圆锥曲线的统一极坐标方程.docx

圆锥曲线的统一极坐标方程.docx§3. 8圆锥曲线的统一极坐标方程
一、 教学目标
（一） 知识教学点
掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义.
（二） 能力训练点
会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程半）.但是，对方程P = （m、n、s〉0）,如何求曲线的
m -ncos u
有关几何重e, p, a, b, c?
（讨论后）学生3答：
n s
♦—
原方程即p = 籍n .
1—cos e m
此式为统一极坐标方程的标准式
r n c e =—=— m a s a2 a
p=—= — -c = — c L n c e
这里，及时将土！代换，可以回避解关于a、c的二次方程，而 c e
得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化.
（3）对方程p =厂卫百显然有
1 - ecos
击（0, 1）时，表椭圆.
时，表抛物线.
eG（l> +8）时，表双曲线.
但注意到，e>l时，1-ecosBWO关于8有解，而eg><0, 面学过，通常情况下，P >0,这就似•乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？
（讨论后）学生4答:
（如图3-26）上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=
c -ep
|OB|-|OK|= - <t> -pcos 6 => P = .
l + ecos f
图 3-26
此时方程与右支的情况不同. 这时，若设8=8 ' +兀，P '
则p '= 一 也就是(P ' , 8 ').
1-ecostJ
符合方程口 =^-5-.
1-ecos D
上述推导与分析实际上是：若射线0P与双曲线有两个交点；当视0 =ZxOP时，则 p>0C/cos9<0),此时所表点是右支上的点；当视8=ZxOP项时，则P<0,此时所表 点是左支上的点.
综上知，e>l时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：
若p>0,即1-ecos 0 >0,则表右支；
若p<0,即1-ecos 9 <0,则表左支；
1 - prog fj = 0
(cup 表双曲线的渐近线.
P t R
取ee[o, 2丸)，则8范围所对曲线如下:
0 € (arccos- , 2^ -arccos-)时，P >0,方程表双曲线右支； e e
0 € [0, arccos-)v(2^ -arccos—, 2兀)时，P <0,方程表双曲 e e
线左支；
0 = arccos-或 8 =2^ - arccos —时，P 无意义(PER),方程表两 e e
条渐近线.
，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误.
应用举例
例己知椭圆长轴|A】A2=6,焦距饵百|=4很，过左焦点耳作一直 线交椭圆于M、N两点，设ZF2F1M=9(O^ 6 Or),求8的值，使|MN|等于短轴长.
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
l 2^/2 72
a = 3, c = 2^.12. ・・ b = 1, e = - -, p = -^-
椭圆的极坐标方程为
1 p = =
3-2^2 cos 6
设 M(p 1, 8)、N(p 2, 8+jc),贝IJ
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