基本不等式教案习题.doc

基本不等式教案****题
基本不等式教案****题
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基本不等式教案****题
［备考方向要明了］
考 什　么
怎 么 考
．
2。会用基本不等式解决简单的最大(小）值问题.
,b>0，c>0，求证：＋＋≥ａ+b＋ｃ.
证明:∵a〉０，ｂ>0，c＞0,
∴+≥2 ＝2c，
＋≥2　＝２b，
+≥２ =2a。
以上三式相加得:
２≥２(a＋b＋c),
即＋＋≥ａ＋b+ｃ.
利用基本不等式求最值
［例2］ （１）（２012·浙江高考)若正数x，ｙ满足x＋3y＝5ｘｙ，则3x＋4y的最小值是（ )
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Ａ.　 　 　　　　 B。
C．5 　ﻩD．6
（2)已知ａ〉０，b〉0，ａ２+＝1，则a 的最大值为_______＿。
［自主解答］ （1）由x＋3y=5xy，得＋＝5(x>０，ｙ>0），
则３x+４y=(3x＋4y)
=≥
＝（１３＋12）=5。
当且仅当＝，即x＝2ｙ时，
“=”成立，此时由解得
（２）∵a＞0,
∴a＝＝
≤·＝，
当且仅当即时取等号．
∴a的最大值为。
［答案]　(1）C　（2）
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应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件：
（1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;
（2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（３）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方．
2。（1）函数y＝a１－ｘ（a〉0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ｎy-１＝0（ｍ,n＞0）上，求＋的最小值；
(2）若正数a，b满足ａb＝a+b+３,求ab的取值范围.
解：（1）∵y=ａ１－x（a〉0,ａ≠１）的图象恒过定点A,
∴Ａ(１,1）.又点A在直线ｍx＋ny－1＝0（ｍ>0，ｎ＞0）上，∴m+n=1(m＞0，n>0）。∴＋＝(ｍ+n)·=2+＋≥2+2=4，当且仅当m＝n＝时，等号成立，∴＋的最小值为4.
（2)∵ab＝a＋ｂ+3，又a,b∈（０,+∞），
∴ab≥2+＝ｔ>0，
∴t2—2t－3≥0.∴t≥３或t≤-１（舍去）．
∴ab的取值范围是［９,+∞).
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利用基本不等式解决实际问题
［例3]　为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在20１4年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量)x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=４－（ｋ为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产１万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的１．5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分)。
（１)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(２)该厂家201４年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
[自主解答]　(1)由题意有1=4—,
得k=3，故x＝4－．
故y=××ｘ－（6＋12x）－ｔ
＝３+6x－ｔ＝3＋6-ｔ=27—-t（ｔ≥0）．
(2)由（1）知：y=2７-—t
＝２7。5—。
基本不等式+≥２ ＝6,
当且仅当=t+，即t=２．5时等号成立.
故y=２7—－ｔ=－
≤2７．５－6=2１．5.
当且仅当=t+时，等号成立,即t=，.
，该厂家利润最大,最大利润为21．5万元．
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解实际应用题时应注意的问题
（１）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求.
(４)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值。
3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1）据市场调查，若价格每提高１元，销售量将相应减少2 ０00件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高