.:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法;:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;、相容性与稳定性;多步法的稳定性。教学重点及难点重点是解常微分方程的单步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。教学时数20学时教学过程§??),(,满足?????????)()()(),,(?aybxayxfdxdy其中),(yxf是已知函数,?是已知值。假设),(yxf在区域},),{(??????ybxayxD上满足条件:(1)),(yxf在D上连续;(2)),(yxf在D上关于变量y满足Lipschitz条件:2121),(),(yyLyxfyxf???,21,,yybxa???()其中常数L称为Lipschitz常数。我们简称条件(1)、(2)的基本条件。由常微分方程的基本理论,我们有:定理1当),(yxf在D上满足基本条件时,一阶常微分方程初值问题()、()对任意给定?存在唯一解)(xy在],[ba上连续可微。定义1方程()、()的解)(xy称为适定的,若存在常数0??和0?K,对任意满足条件???及????)(x的?和)(x?,常微分方程初值问题.?????????????aazbxaxzxfdxdz)(),(),(()存在唯一解)(xz,且}.{)()(???????Kxzxy适定问题的解)(xy连续依赖于()右端的),(yxf和初值?。由常微分方程的基本理论,还有:定理2当),(yxf在D上满足基本条件时,微分方程()、()的解)(xy是适定的。我们在本章中假设),(yxf在D上满足基本条件,从而()、()的解)(xy存在且适定。一般的一阶常微分方程组初值问题是求解???????????niaybxaniyyxfydxdiinii,,2,1,)(,,,2,1),,,,(1????()()的向量形式是??????????)(),,(aybxayxFydxd()其中.),,,(,)),(,),,((),(,))(,),(()(2111TnTnTnyxfyxfyxFxyxyxy??????????记},,2,1,,),,,{(1niybxayyxDin?????????。类似于定理1和定理2,我们有:定理3若映射),(yxF满足条件(1)),(yxF在D上是从1?nR到nR上的连续映射;(2)),(yxF在D上关于y满足Lipschits条件;212121,,),(),(yybayyLyxFyxF??????任意。则常微分方程组初值问题()存在的唯一的连续可微解),(xy而且解)(xy是适定的。高阶常微分方程初值问题一般为.????????????????1,,1,0,)(),,,,,(111niaaydxddxaydxddxdyyxfydxdiiinnnn??()其中),,,,(uuyxf?是给定多元函数,naa?,1为给定值。引进新的变量函数nkbxaxydxdxykkk,,2,1,),()(11???????(.)则初值问题()化成了一阶常微分方程组初值问题????????????????????niayyyxfdxdyyydxdbxayydxdiinnnn,2,1,)(),,,()(1121????通过求解()得到()的解)()(1xyxy?。,是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。在??ba,上引入节点??),,1(,:1100nkxxhbxxxaxkkknnkk????????????称为步长。在多数情况下,采用等步长,即),1,0(,nkkhaxnabhk??????。记(),()的为准确解为)(xy,记)(kxy的近似值为ky,记),(kkyxf为kf.。求值问题数值解的方法是步进法,即在计算出kiyi?,后计算1?ky。数值的方法有单步与单步法之分。单步法在计算1?ky时只利用ky而多步法在计算1?ky时不仅要利用ky还要利用前面已算出的若干个1,,2,1,???ljyjk?。我们称要用到11,,,???lkkkyyy?的多步法为l步方法。单步法可以看作多步法,但两者有很大差别。l步方法只能用于lkyk?,的计算,110
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