线性代数第讲.ppt

线性代数第讲
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2021/2/22
线性代数第1讲
行列式
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2021/2/22
介绍
线性代数的重要目的是解线性方程组
而解线性方程组经常要用到行列式的概念
n阶行列式的定义和性质
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202线性代数第讲
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2021/2/22
线性代数第1讲
行列式
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2021/2/22
介绍
线性代数的重要目的是解线性方程组
而解线性方程组经常要用到行列式的概念
n阶行列式的定义和性质
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2021/2/22
对于一个二元一次方程组
当a11a22-a12a210时, 用消元法求解, 得其解为
()
()
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假如记
()
()式可以表示为
二阶行列式
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三阶行列式的定义
-
-
-
+
+
+
()
()
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例如
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假如三元线性方程组
的系数行列式
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用消元方可解得
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其中
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二阶和三阶行列式都可按第一行展开
余子式
代数余子式
〔〕
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同样
其中
A11=(-1)1+1|a22|=a22,
A12=(-1)1+2|a21|=-a21
这里|a22|,|a21|是一阶行列式不是绝对值.
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n阶行列式的定义
定义　由n2个数aij(i,j=1,2,...,n)组成的n阶行列式
〔)
当n=1时D=a11; 当n2时, 定义
()
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其中 A1j=(-1)1+j M1j ,
M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后, 按原顺序排成的n-1阶行列式, 即
称M1j为元素a1j的余子式, A1j为元素a1j的代数余子式
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例(未写出的元素都是0)
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例
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下三角行列式等于对角线元素之积
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例
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n阶行列式的性质
(证明不重要, 但必须记住并用它们来计算行列式)
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性质1 行列式与它的转置行列式相等
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性质2 行列式按任一行(列)按下式展开, 其值相等
其中 Aij=(-1)i+jMij,
Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排成的n-1阶行列式, 称为aij的余子式, Aij称为aij的代数余子式.
()
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例如, 假设
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例 设
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性质3 (线性性质)有以下两条:
行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.
()
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()
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推论1 某行元素全为零的行列式其值为零
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性质4　行列式中两行对应元素全相等, 其值为零, 即当ail=ajl(l=1,2,...,n)时, 有
()
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推论2　行列式中两行对应元素成比例(即ail=kajl,ij, l=1,2,...,n, k是常数), 其值为零
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性质5　行列式中某各元素乘常数k加到另一行对应元素上, 行列式的值不变(简称: 对行列式做倍加行变换, 其值不变), 即
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性质6(反对称性质)　行列式的两行对换,行列式的值反号.
第i行
第j行
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性质7 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即
这是因为
()
第i行
第j行
=0
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可将(),(),()式统一地写成
其中
同样, 行列式对列展开, 也有
()
()
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行列式按某k行(列)展开在n阶行列式D= 中, 任意选定k行k列(1kn), 位于这些行和列穿插处的k2个元素, 按原来的顺序构成一个k阶行列式M, 称为D的一个k阶子式. 划去这k行k列, 余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式, 在其前面冠以符号
称为M的代数余子式, 其中i1,i2,...,ik为k阶子式M在D中的行标, j1,j2,...,jk为M在D中的列