基本不等式.ppt

2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———
问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？
易得，s > s’,即
A
D
C
B
H
G
F
E
问4：那么S与S’它们有相等的情况吗？何时相等？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=　　　则正方形的面积为S=　　　。
图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
问5：当a,b为任意实数时，
还成立吗？
形
数
此不等式称为重要不等式
（当且仅当a=b时，等号成立）
如果用 去替换 中的 ,
能得到什么结论? 必须要满足什么条件?
基本不等式
探究３
证明:要证
只要证
( )
①
②
要证②，只要证
( )
③
要证③，只要证（ － )
④
显然: 是成立的,当且仅当 时
④
④
中的等号成立.
证明:当 时, .
o
a
b
A
B
P
Q
如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则半弦PQ=____,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
算术平均数
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
重要不等式：
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
=18/2=9
得 xy 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
1、本节课主要内容？
你会了吗？
小结
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
x＞0, 当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？
用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？
作业