奥数因式分解.docx

.
一、常用公式：
序号 公式 记忆特征
(1) 常数项两数积
x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)
1 (2) 一次项系数两数和
（十字相乘法）
(3) 二次项系数为 1
2
(b+c)3 提示：第一个多项式为另外两个多项式之和
原式 =(a+2b+c)3-[(a+b)3+(b+c)3]
（添括号形成立方和的形式）
=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2]
（应用立方和公式展开）
=(a+2b+c){[(a+2b+c)2-(a+b)2]+(a+b)(b+c)- (b+c)2}
（提取公因式
a+2b+c 形成平方差公式）
=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2]
（提取公因式
b+c）
=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)]
（合并化简）
3(a+b) (b+c) (a+2b+c)
例 3 若 x=√2 + √2 ， y=√2 - √2 ，则 x6+y6 的值是：
解： x6+y6 =(x2)3+(y2)3
=(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2] （应用立方和公式）
=(x2+y2)[(x2+y2)2 -3x2y2] （应用完全平方公式）
x2+y2=(√2 + √2)2+(√2 - √2)2=4, 3x2y2=3× (√2 + √2)2× (√2 - √2)2=6
x6+y6=4× (42－ 6)=40
3、分组分解法
提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。
1)
按系数分组
例 2ax-10ay+5by-bx
= (2ax-10ay)+(5by-bx)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(2a-b) (x-5y)
2)
按字母分组
例 x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y 3(b+1)
=ax3 +x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3
（去括号）
=[ ax3 -axy(x-y)]+[bxy(x-y)+by 3]+[x 3+y3]
（适当分组）
..
.
=(ax3-ax2 y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) （去括号化简）
2 2 2 2 2 2
=ax(x -xy+y )+by(x -xy+y )+(x+y)(x -xy+y ) （提取公因式及应用立方和公式）
2 2
=( x -xy+y )(ax+by+x+y)
按次数分组
例 (xy-1) 2+(x+y-2)(x+y-2xy)
=(xy-1)
2+[(x+y)-2)][(x+y)-2xy]
（分组）
=(xy-1)
2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy
（多项式相乘）
=(xy-1)
2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy
（提取公因式整理）
=[(xy-1)2 +