自相似集的Lipschitz等价和高维Frobenius问题.pdf

博士学位论文DOCTORALDISSERTp(110N博士学位论文自相似集的Lipschitz等价和高维Frobenius问题论文作者:张圆指导教师:饶辉教授学科专业:基础数学研究方向:分形几何与小波分析华中师范大学数学与统计学学院2015年5月万方数据博士学位论文DOCTOI№LDISSER=I=棚oNDissertationLipschitzEquivalenceofSelf-similarSetsandHigherdi"halFrobeniusProblemHlgnerOlmenslonaemBy:YuanZhangSupervisor:HuiRao‘Specialty:PureMathematicsResearchArea:FractalGeometryandWaveletAnalysisMay2015万方数据博士学位论文DOCTORALDISSER工枷ON华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师指导下,,,:私阎学位论文版权使用授权书日期:沙f鼻岁月沙日学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定,即:,允许学位论文被查阅和借阅:学校可以公布学位论文的全部或部分内容,可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文.(保密的学位论文在解密后遵守此规定)保密论文注释:本学位论文属于保密,:本学位论文不属于保密范围,:锄闯日期:矽6年,月’西日导师签名:日期:2,o日本人已经认真阅读“CALIS高校学位论文全文数据库发布章程”,同意将本人的学位论文提交“CALIS高校学位论文全文数据库”中全文发布,并可按“章程”:口半年;口一年;:掘l鹞日期:加旷年厂月污日万方数据博士学位论文DOCTORALDISSERTATION内容摘要自相似集的Lipschitz等价问题,是几何测度论和分形几何中的重要问题。[7,8],【3]在20世纪90年代的系列工作。在最近十年,这方面的研究十分活跃,取得了很多重要进展。本论文研究的核心问题是强分离自相似集的Lipschitz等价性(又称Falconer-Marsh问题)。在这个问题上,已经积累了许多方法和技巧,如代数不变量【8】,双Lipschitz函数的保测性【25],可匹配条件【151和环方法【,引入并研究了高维Frobenius问题。经典的Frobenius问题是研究给定m个互素的正整数a1?.,‰,找出不能表示成a。?.,‰的非负整线性组合的最大整数,显然,这取决于半群a1N+?+n。N的结构。我们把n1,?,‰换成R3中的整向量Xl?.,‰(但要求它们位于某个半空间中),研究半群x1N+?+‰N的结构。首先,我们提出饱和锥的概念,证明了其存在性,并给出了高维Frobenius问题的表述;其次,我们引入了方向增长函数,在X1?.,.k共面时,我们利用条件熵给出方向增长函数的计算公式;最后,在共面条件下,我们证明了下述“刚性”结果:五?.,‰可由方向增长函数唯一确定。我们的第二个工作是把上述研究应用于自相似集Lipschitz等价的研究。对于每个自相似集,我们可以联系一个高维Frobenius问题,从而联系了一个方向增长函数。首先,我们证明方向增长函数是一个Lipschitz不变量;其次,利用前述的“刚性”结果,在共面条件下,我们解决J"Falconer-Marsh问题。我们猜测,在一般情形下,方向增长函数仍将会是一个重要的Lipschitz不变量,它的计算和刚性问题,是困难而重要的问题。此外,本论文还研究了一类自仿分形集的拓扑结构。关键词:自相似集;Lipschitz等价;高维Frobeniusbl题;饱和锥;【7,81,