矩阵分析第5章.ppt

2016-10-27第五章范数,序列,级数前言?向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,,这一章的理论在数值分析及其它领域中十分有用.?(矩阵幂级数)-10-27§ ?,的标准长度:∥x∥=?(x,x)=(|x1|2+…+|xn|2)1/2满足①?x?V,∥x∥?0; ∥x∥=0 ? x=0 (非负性)②?x?V,k?C,∥kx∥=|k|∥x∥(齐次性)③?x,y?V,∥x+y∥?∥x∥+∥y∥(三角不等式):数域F上线性空间V称为赋范空间,如果存在映射∥?∥:V?R 满足上述三条公理.∥x∥-10-27几点注记?向量范数的概念不仅限于酉空间,即:酉空间是赋范空间,但存在不是酉空间的赋范空间.?同一酉空间可能除标准内积定义的(标准),在Cn中可定义下列范数: ,∥x∥?=max{|x1|,…,|xn|}. (它显然满足非负公理;∥kx∥?=max{|kx1|,…,|kxn|} |kxi|=|k||xi| =|k|max{|x1|,…,|xn|}=|k∥x∥?;∥x+y∥?=max{|x1+y1|,…,|xn+yn|}?max{|x1|+|y1|,…,|xn|+|yn|}?max{|x1|,…,|xn|}+max{|y1|,…,|yn|} =∥x∥?+∥y∥?2016-10-27范数初等性质(由定义推出)?∥-x∥=|-1|∥x∥=∥x∥.??x,y?V,∥x?y∥?|∥x∥-∥y∥|.证:首先∥x∥=∥(x-y)+y∥?∥x-y∥+∥y∥?∥x-y∥?∥x∥-∥y∥.其次∥x-y∥=∥-(y-x)∥=∥y-x∥?∥y∥-∥x∥=-(∥x∥-∥y∥)∴∥x-y∥?|∥x∥-∥y∥|.此外∥x+y∥=∥x-(-y)∥?|∥x∥-∥-y∥|=|∥x∥-∥y∥|∴∥x?y∥?|∥x∥-∥y∥|.2016-10-27Holder不等式与Minkowski不等式?下面两个不等式对本章的理论推导十分有用?Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk?0成立?k=1nakbk ?(?k=1nakp)1/p(?k=1nbkq)1/q.(C-S不等式为其(p=2时)特例) p,q次算术根?Minkowski不等式:对任意给定p?1成立(?k=1n|ak+bk|p)1/p?(?k=1n|ak|p)1/p+(?k=1n|bk|p)1/p此2不等式证明见教本2016-10-27不等式()的证明·设p>1,q=p/(p-1)>,v?0有uv?up/p+vq/q ()证:只须证对任意u>0,函数f(v)=up/p+vq/q-uv在定义域D={v>0}内的最小值等于0即可. (u=0或v=0时,()显然成立).事实上,因f?(v)=vq-1-u=0在定义域D内有唯一零点:v=u1/(q-1)>0,并且f?(v)=(q-1)vq-2>0(当v>0),故f(u1/(q-1))=up/p+uq/(q-1)/q-uu1/(q-1)=.(uq/(q-1)/q-uu1/(q-1)=up(1/q-1)=-up/p)(q-1)/q=1-1/q=1/p; 1+1/(q-1)=q/(q-1)=p2016-10-27Horder不等式()的证明uv?up/p+vq/q ()证:在()中,令u=ak/a;v=bk/b,其中则????1/ 1/1 1;p qn np qk kk ka a b b? ?? ?? ?????1 1 11/ 1/1