一元二次函数总结.docx

东北师X大学“明日乡”公益支教团
一元二次函数的图象
一、 定义：
一般地，如果 y ax2 bx c(a, b,c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x的一元二
次函数 . 其中， x 是自
2
把抛物线 y
1 x2 向下平移
1 个单位，再向左平移
2 个单位，就得到抛物线
1 ( x
2
y
1)2 1。
2
归纳 ：一般地，抛物线 y
a(x h)2
k 与 y ax2 形状相同，位置不同。把抛物
线 y
ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线
y a( x h) 2
k 。平移的
方向、距离要根据 h，k 的值来决定。
抛物线 y a( x h)2 k 有如下特点：
（1）当 a 0 时，抛物线的开口向上；当 a 0 时，抛物线的开口向下；
（2）对称轴是直线 x=h；
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（3）顶点坐标是（ h，k）
例 4：画出 y 1 x2 6x 21 的图象
2
归纳：一般地，可以用配方法求抛物线
y ax 2
bx c (a
0) 的顶点与对称轴
y
ax2
bx
c a(x
b ) 2
4ac
b2
2a
4a
因 此 ， 抛 物 线 y ax2
bx
c 的 对 称 轴 是 x
b ， 顶 点 坐 标 是
2a
(
b
, 4ac b2
) .
2a
4a
(2)
c的大小决定抛物线 y
ax 2
bx c 与 y 轴交点的位置 .
当 x
0 时，y
c ，∴抛物线 y
ax2
bx c 与 y 轴有且只有一个交点 (0 ，c) ：
c 0 ，抛物线经过原点 ;
c 0 , 与 y 轴交于正半轴；
c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则
0 .
a
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（ 2） a,b 同号，对称轴在 y 轴左侧，反之，再 y 轴右侧
|x 1-x 2 |=
b2
4ac ,与 y 轴交点为 (0,c)
a
2 2
b -4ac>0 ， ax +bx+c=0 有两个不相等的实根
2 2
b -4ac<0 ， ax +bx+c=0 无实根
b2-4ac=0 ， ax2+bx+c=0 有两个相等的实根
二． 四、 根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条
件
x＜y＜ m﹙m 为 x 轴上的一点﹚，则需满足：
┏△＞ 0
┣﹣ 2a／b＜m
f(m) ＞ 0
m＜x＜y﹙m 为 x 轴上的一点﹚，则需满足：
┏△＞ 0
┣﹣ 2a／b＞m
f(m) ＞ 0
x＜m＜y﹙m 为 x 轴上的一点﹚，则需满足：
x,y∈﹙ m,n﹚﹙ m,n 为 x 轴上的一点﹚，则需满足：
┏△＞ 0
m＜﹣ 2a／ b＜ n ┗ f(m) ＞ 0,f(n) ＞0
m＜x＜n＜y＜p﹙m,n,p 为 x 轴上的一点﹚，则需满足：
f(m) ＞ 0 ┣ f(n) ＜ 0 ┗ f(p) ＞ 0
﹙ m,n﹚之间﹙ m，n 为 x 轴上的一点﹚，则需满足：
┏△＝ 0
m＜﹣ 2a／ b＜ n
f(m) ·f(n ﹚＜ 0
f(m) ＝0
或
┗m＜﹣ 2a／ b＜﹙ n＋m﹚／ 2
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f(n) ＝0
或
┗﹙ n＋m﹚／ 2＜﹣ 2a／ b＜ n
五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①