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数学中“有限及无限”思想.docx

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数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想
一、知识概述
1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经
掌握的无限问题的结论来解决围.
2
.对于题设的递推关系，随着所给出的初始条
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【解析】
这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题
件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得
出对无限个bn都可以得到一个有穷数列
{an}的猜想，
直接得到无限问题的解答
.第（Ⅲ）问是把对无限个
n都成立的结果，通过有限次分析获得解决.
【答案】（Ⅰ）Qa
a,a
n1
1
1,
a
1
1
1
1
a
1,
1
an
2
a1
a
a
数学中的“有限与无限”的思想
a3
1
1
2a1,a4
1
1
3a
2.
故当a
2时a4
0.
a2
a1
a3
2a
1
3
(Ⅱ)
解法一：
b1
1,bn
1
1
,bn
1
1
,
bn
bn
1
1
当a
b1时,a2
1
1
0
,
b1
当a
b2时,a2
1
b1
1,
a3
0,
1
b1
当a
b3时,a2
1
b2,
a3
1
1
1
1
b1
1a4
0.
1
a2
b2
b3
一般地,
当a
bn时,an1
0,可得一个含有
n
1项的有穷数列
a1,a2.
,an1.
下面用数学归纳法证明.
当n
1
时,
a
b1,显然a2
1
1
0,可得一个含有
2项的有穷数列a1,a2.
b1
假设当n
k时,a
项的有穷数列a1,a2.
,ak1,其中
bk,得到一个含有
k

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