数学建模竞赛A题论文-建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位.doc

,某个时间,某个纬度的太阳高度角,从而计算太阳照射直杆的影长。并且通过对一系列按时间变化记录的数据以及部分已知参数,利用梯度下降法进行曲线拟合样本数据点,以此求出相应的未知的参数,算出数据记录时所在的可能的地点经纬度和日期。关键词:,地球上垂直地面杆的影长模型假设太阳光线完全平行,地球是完全标准的球体,地球公转轨道是标准圆形,且随日期变化匀速运转。。设太阳光线和地球的赤道面形成的角度为∠EOC=α,纬度即∠BOA=β,根据纬度的定义显然OB是β纬度上X点的切面(即X点地面)的法向量方向。X点的经度和太阳垂直照射点所在的经度的夹角即∠AOC为Θ(可以由该点的真实时间计算得到,地球每小时自转15°,Θ=(该点真实时间-12)*15)。欲求3太阳在X点的高度角,相当于求X点地面法向量方向OB和太阳光线的夹角∠BOE的余角。假设太阳高度角为γ,则sinγ=cos∠BOE。如图作AC⊥OC,作EC和BA垂直于赤道面,BD⊥CE于D。设OA长为z,则OB=z/cosβ,OE=zcosΘ/cosα,BD=AC=zsinΘ,CD=AB=ztanβ,CE=zcosΘtanα。DE=CE-CD=zcosΘtanα-ztanβ。BE2=BD2+DE2=(zsinΘ)2+(zcosΘtanα-ztanβ)2。根据余弦定理可得,经化简可得:cos∠BOE=sinαsinβ+cosαcosβcosΘ。即sinγ=sinαsinβ+cosαcosβcosΘ用反三角函数即可知太阳高度角γ。,如果不考虑地球自转,则随着公转,太阳直射点将在地球上画出一个圆,这个圆所在的平面即为回归面。设A点为夏至日(6月22日)的直射点,此时∠AOB=N=23°26′,随着日期推移,直射点移到点C,则此时∠COD=α正是我们所要求的太阳光线和地球赤道面所成的角,而∠AOC则是日期相对6月22日(公转导致)移动所形成的夹角,所以∠AOC=相对6月22日天数差距/365*π(闰年为366),其中比6月22日小则天数差距为负值。易证,赤道面和回归面的二面角大小为N=23°26′,平面AOB⊥赤道面,平面COD⊥赤道面。所以该问题可以转化为如下图所示的情形。即一个二面角∠A’OB’大小为N,垂直于二面角∠A’OB’其中一个面B’OD’的面C’OD’,求C’OD’被这个二面角所夹出来的∠C’OD’(即∠α)大小。5图中△A’OB’,△A’OC’,△C’OD’为直角三角形。C’D’=A’B’=OA’sinN,OC’=OA’/cos∠A’OC’,∴sinα=C’D’/OC’=sinN*cos∠A’OC’用反三角函数即可求得α。,杆影长的模型由于杆影长大部分时候远小于地球的半径,所以不考虑地球地面的弯曲,当做地面为平面。则影长shadowlength=L*cotγ。其中L为杆长。。由于北京时间是以东经120°为基准计算的,所以该经度longitude上的真实时间应该为realtime=(longitude-120)/15+beijingtime6(小时),其中单位为小时和度,除以15因为地球每小时自转15°。:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。根据上述模型,在MATLAB上编码得到该变化曲线。,建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。7附件1得到不同时刻的影长数据,我们采用梯度下降的方法,去拟合出一条曲线尽可能符合附件1的数据。根据模型,影长函数shadowlength(L,α,β,Θ)=L*cotγ=L*cot(arcsin(sinαsinβ+cosαcosβcosΘ))α可由日期2015年4月18日计算得到。每个数据样本都可以计算出对应的Θ。设数据样本有n个,第i个样本计算得到的Θ记为Θi,第i个样本的影子长度记为Lexami。首先定义一个代价函数:拟合即找到使代价函数达到尽可能小的值的参数L和β。让cost对L和β分别求偏导数记为?cost/?L和?cost/?β。(具体求导由MATLAB完成,)