2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：数列 大题.doc

****(重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)在数列??na中,??21 1 13, 0n n n na a a a a n N? ?? ? ?? ????(1)若0, 2,? ?? ??求数列??na的通项公式;(2)若??0 001, 2 , 1,k N kk? ??? ????证明:10 01 12 23 1 2 1kak k?? ???? ?【答案】(1)13 2nna?? ?;(2):(1)由0 2? ?? ??,,有212 , (n N )n n na a a? ?? ?****若存在某个0n N??,使得n0a=,则由上述递推公式易得n 10a+=,重复上述过程可得10a=,此与13a=矛盾,所以对任意Nn??,0na?.从而12n na a+=??Nn??,即{}na是一个公比q 2= 113 2n nna a q- -= = ×.(2)由011k? ?? ??,,数列{}na的递推关系式变为21 1010,n n n na a a ak+ ++ - =变形为2101n n na a ak?? ?? ?? ?? ???Nn??.由上式及13a=,归纳可得1 2 13 0n na a a a+= > > > > > >? ?因为22 2 20 010 0 00 01 11 1 11 11nnn nnn naa k ka ak k k aa ak k+- += = = - + ×++ +,所以对01, 2n k=?求和得()()1 1 2 1 1k k ka a a a a a+ += + - + + -?01 00 0 0 1 0 2 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 11 1 1 1 12 23 1 3 1 3 1 3 1ka kk k k a k a k ak k k k k? ?? ???????? ?? ?? ? ?? ?? ?? ???????? ?? ? ??? ???另一方面,由上已证的不等式知1 2 12k ka a a a+> > > > >?得001 1 00 0 0 1 0 2 01 1 1 1 11 1 1kka a kk k k a k a k a?? ??