基本不等式教案.docx

§ 基本不等式
肥东一中 赵劲松
教学目标
借助赵爽弦图和实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力和数学抽象能力。
探索基本不等式的证明方法。
掌握基本不等式的结构特征及其使用条件。
会用基本不等式解决方法称为分析法，是一种常见的证明方法，以后还有机会继续研究它的运用。
教师：我们为什么要把基本不等式写成这种形式呢？事实上，这个基本不等式的两边都有特殊的名称。我们称为正数a、b的几何平均数，称为算术平均数。既然称为几何平均数，那它有几何意义吗？
探究2：请观察右边的图形，你能从中找到上面的基本不等式吗？
图2
让学生互相进行讨论一会，然后请大家说出自己发现的结论。
学生5：可以发现，即为OA（半径）长，即为CD（半弦）长。
教师：从图形中可以看出，
这就是基本不等式的几何意义：半弦长不大于半径长。
教师：下面我们用几何画板来演示一遍，请同学们注意我在演示过程中，我们上面提到的半弦长和半径长的变化，看从中我们可以得出什么新的结论。
演示一：用鼠标拖动点C在直径AB上移动。（见图3）
问题：此时半径长有发生变化吗？半弦长呢？如果有变化，是怎么变化的呢？
图3
学生6：可以发现半径长没有变，半弦长先变大，后变小。
教师：你还需要补充吗？
学生6：还可以知道，当点C与点O重合时，半弦长最大。
教师：这位同学观察的很仔细。我们把他观察到的情况连起来，就可以得到下面的结论。
半径长不变时，半弦长有最大值，当且仅当点C与点O重合时。
也即：当不变时，有最大值，当且仅当a=b时取等号。
这就是基本不等式中的一个重要结论：两正数和为定值时，积有最大值。
演示二：用鼠标拖动点C向右移动。（如图4）
图4
问题：此时半径长有发生变化吗？半弦长呢？如果有变化，是怎么变
学生7：可以发现半弦长没有变，半径在变化。
教师：有补充吗？
学生7：还可以知道，当CD中点E与AB中点O重合时，半径长最小。
教师：这位同学观察的很仔细。我们把他观察到的情况连起来，就可以得到下面的结论。
半弦长不变时，半径长有最大值，当且仅当点E与点O重合时。
也即：当不变时，有最大值，当且仅当a=b时取等号。
这就是基本不等式中的另一个重要结论：两正数积为定值时，和有最小值。
教师：以上得出的两个结论在我们的日常生活中运用都是非常广泛的，下面就让我们来体验一下。
新学知识运用
例1.（1）学校将用长为36 m的栅栏围成一个矩形花圃，如何设计花圃的长和宽，花圃的面积最大？最大面积是多少?
（2）用栅栏围一个面积为100m2的矩形花圃，如何设计花圃的长和宽，能使所用栅栏最短，最短的栅栏是多长？
分析：数学的学****就是为了运用，应用题的关键是如何把实际问题转化为数学问题来研究，也就是建模问题。
解：（1）设矩形花圃的长为x,宽为y， （x>0,y>0）
则矩形花圃面积为S=x·y，栅栏的长L=2(x+y).
由题可以得到：2(x+y)=36，即x+y=18
所以由基本不等式可得：
所以 xy≤81，当且仅当x=y=9时等号成立。
因此花圃的长和宽都为9时，花圃的面积最大，最大面积是81。
（2）设矩形花圃的长为x,宽为y，（x>0,y>0）
则矩形花圃面积为S=x·y=100 m2，栅栏