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2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版).pdf


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162 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5 分,共20 分) =??++∫∫yxyxxyyxDdd1)1ln()(,其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围成三角形区域。 )(xf是连续函数,且满足∫??=2022d)(3 ) (xxfxx f, 则=)(xf; ?+=yxz平行平面022=?+zyx的切平面方程是 ; )(xyy=由方程29ln)(yy fexe=确定,其中f具有二阶导数,且1≠′f,则=22ddxy。二、(本题满分5 分)求极限xenxxxxneee)(lim20+++→?,其中n是给定的正整数。三、(本题满分 15 分)设函数)(xf连续,∫=10d)() (txtfx g,且Axxfx=→)(lim0,A为常数,求)(xg′并讨论)(xg′在0=x处的连续性。四、(本题满分15 分)已知平面区域}0 ,0 | ) , {(ππ≤≤≤≤=yxy x D,L为D的正向边界,试证: (1)∫∫?=???LxyLxyxyeyxe x ye y xeddddsinsinsinsin; (2)2sinsin25ddπ∫≥??Lyyxyeyxe。五、(本题满分10 分)已知xxexey21+=,xxexey?+=2,xxxeexey??+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程。六、(本题满分10 分)设抛物线cbxaxyln22++=过原点。当10≤≤x时,0≥y,又已知该抛物线与x轴及直线1=x所围图形的面积为31。试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。七、(本题满分15 分)已知)(xun满足),2, 1() ( ) (1?=+=′?nexx u x uxnnn, 且neun=)1(, 求函数项级数∑∞=1)(nnxu之和。八、(本题满分10 分)求?→1x时, 与∑∞=0nnx等价的无穷大量。 163 第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算题(每小题5 分,共20 分) (1 ) sinnnkkknnπ?→∞=+∑。()axdydz z a dxdyxyz∑++++∫∫,其中∑为下半球面222zayx=???的上侧,0a>。 。已知上下两底的材料费为单位面积a元,而侧面的材料费为单位面积b元。试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? 4. 已知()fx在11(,)42内满足331()sin cosfxxx′=+,求()fx。二、求下列极限(每小题5 分,共10 分) 1nnnen→∞????+???????????; →∞??++????????, 其中0, 0, 0abc>>>。三、(本题满分 10 分) 设()fx在1x=点附近有定义,且在1x=点可导, (1) 0, (1) 2ff′==,求220(sin cos )limtanxfxxxxx→++。四、(本题满分 10 分)设()fx在[0, )+∞上连续,无穷积分0()fxdx∞∫收敛。求 01lim ( )yyxfxdxy→+∞∫。五、(本题满分 12 分)设函数()fx在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且1(0) (1) 0, ( ) 12fff== =。证明:(1) 存在1(,1)2ξ∈使得()fξξ=;(2) 存在(0, )ηξ∈使得() () 1ffηηη′=?+。六、(本题满分14 分)设1n>为整数,20() 1 ...1! 2! !nxttt tFx edtn???=++++????∫。证明: 方程()2nFx=在(,)2nn内至少有一个根。七、(本题满分12 分)是否存在1R中的可微函数()fx使得2435(())1ffx x x x x=++???若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明。八、(本题满分 12 分)设()fx在[0, )∞上一致连续,且对于固定的[0, )x∈∞,当自然数164 n→∞时()0fxn+→。证明: 函数序列{ ( ) : 1, 2,...}fxnn+=在[0,1]上一致收敛于0。第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5 分,共25 分) 1. 设22(1 )(1 ) (1 ),nnxaa a=+ + +?其中||1,a<求lim .nnx→∞。 2. 求21lim 1xxxex?→∞??+????。 3. 设0s>,求0(1,2,)sx nIexdxn∞?==∫?。 4. 设函数()ft有二阶连续导数,221,(,)rxy

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