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基本不等式
现在学****的是第1页，共33页
１、如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
基本不等式
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，b∈R＋，则
当且仅当a＝b时取等号
两基本不等式
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１、如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
基本不等式
现在学****的是第2页，共33页
，b∈R＋，则
当且仅当a＝b时取等号
两个正数的等差中项不小于
它们的等比中项。
代数解释：
算术平均数与几何平均数
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半径不小于半弦
直角三角形斜边上的中线长不小于
斜边上的高（或半径不小于半弦）。
几何解释：
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我们把 叫做a,b的算术平均数，把 叫做a,b的几何平均数。
从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系。
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1..基本不等式的变形公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
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２．基本不等式的推广：
n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的
算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则
(当且仅当a=b=c时取等号)
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二、简单应用
例1. 利用基本不等式证明下列不等式：
已知a>0,求证 a+
(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .
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, b , c∈R+, 且a+b+c=1, 求证:
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注意
1、不等式的适用范围
2、运用重要不等式求最值时，要把一端化 为常数（定值）。
3、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的 条件；
一正 、二定 、三相等
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基本不等式(二)
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、b为正数，则
a、b的算术平均数为：
a、b的几何平均数为：
a、b的平方平均数为：
a、b的调和平均数为：
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结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
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基本不等式(三)
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下列函数中,最小值为2的是 ( )
A. Y=x+
1
x
, B. Y=sinx+
1
sinx
,x∈(0,
p
2
)
C. Y=
x
2
+3
x
2
+2
. D. Y=
x
+
1
x
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基本不等式(四)
现在学****的是第25页，共33页
当X>1时,求 Y=
2x
2
-2x+1
x-1
的最小值
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若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____
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基本不等式(五)
现在学****的是第29页，共33页
1:
下列结论正确的是 ( )
A. 当X>0,且X
¹
1时,lgX+
1
lgX
³
2, >0时,
X
+
1
X
³
2.
C. 当X
³
2时,X+
1
X
的最小值为2. <X
£
2时,X-
1
X
无最大值.
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2:
对于任意实数a,b,c,d,给出下列命题:
①若a>d,c
¹
0,则ac>bc; ②若a>b,则ac
2
>bc
2
;
③ac
2
>bc
2
,则a>b; ④若a>b,则
1
a
<
1
b
⑤若a>b>0,c>d,则ac>bd,其中真命题的个数是( )
, B. 2, C. 3. D. 4
现在学****的是第31页，共33