小学五年级奥数递推法专题解析(共3页).doc

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第二十八讲 递推方法
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分析 先可以采用作图尝试寻找规律。
第一步，圆周上有两个点，第二步有四个点，第三步有八个点，第四步有十六个点，…，第六步有32个点。
因为问题是求圆周上所有数的和，所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数，只须知道每一步增加数的总和是多少。
第一步：圆周上有两个点，两个数的和是1+1=2；
第二步：圆周上有四个点，四个数的和是1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周上所有数之和的2倍。
第三步：圆周上有八个点，八个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第二步数圆周上所有数之和的2倍。
第四步：圆周上有十六个点，十六个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加数之和恰好是第三步数圆周上所有数之和的2倍。……
这样我们可以知道，圆周上所有数之和是前一步圆周上所有数之和的3倍。用递推法关系表示。
设an为第n步后得出的圆周上所有数之和，则an=3×an－1利用此式可以得到：
an=3×an－1=3×3an－2=3×3×3an－3=……=3×3×……×3a1
（n－1）个3
因为a1=2，所以：
（n－1）个3
an=3×3×……×3a1=3（6-1）×2=486。
例6 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？
（n－1）个3
分析 设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方式有an种。可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有 3×3×……×3=3（种）传球方法。
（n－1）个3
这些传球方式并不是符合要求的，它们可以分为两类，一类是第n-1次恰好传到甲手中，这有an-1传法，它们不符合要求，因为这样第n次无法再把球传给甲；另一类是第n-1次传球，球不在甲手中，第n次持球人再将球传给甲，有an传法。根据加法原理，有an-1+an=3×3×……×3=3n-1。
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以a1=0。
利用递推关系可以得到 a2=3-0=3，a3=3×3-3=6，a4=3×3×3-6=21，a4=3×3×3×3-21=60。
这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种。
当然这题也可以利用列表法求解。
我们可以这样想，第n次传球后，球不在甲手中的传球方法，第n+1次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。
从图中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60