数学联赛集合(共9页).doc

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高中数学竞赛讲义（一）
──集合与简易逻文档-----倾情为你奉上
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定义8  集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5  最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6  抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6  求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7  S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8    求所有自然数，使得存在实数满足：
【解】  当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。
令，则
所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。
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（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有
考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。
例9  设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}，   {1，2，4，12，14}，  {1，2，5，15，16}，  {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}，  {1，3，6，12，15}，  {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5