《微积分教学资料》8.6 二阶常系数线性微分方程.doc

第8章微分方程与差分方程 二阶常系数线性微分方程****题解答 1 1 .求下列方程通解: ⑴" 2 ' 3 0 y y y ? ??; 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特征方程 2 2 3 0 ? ?? ??得两相异实根 1???和3??, 即得方程" 2 ' 3 0 y y y ? ??的通解为 1 2 1 2 x x y C e C e ? ?? ? 3 1 2 x x C e C e ?? ?。⑵" 7 ' 12 0 y y y ? ??; 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特征方程 2 7 12 0 ? ?? ??得两相异实根 3???和4???, 即得方程" 7 ' 12 0 y y y ? ??的通解为 1 2 1 2 x x y C e C e ? ?? ? 3 4 1 2 x x C e C e ? ?? ?。⑶" 6 ' 9 0 y y y ? ??; 【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特征方程 2 6 9 0 ? ?? ??得二重实根 3??, 即得方程" 6 ' 9 0 y y y ? ??的通解为 1 2 ( ) x C C x e ?? ? 3 1 2 ( ) x y C C x e ? ?。⑷" ' 0 y y y ? ??。【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特征方程 2 1 0 ? ?? ??得一对共轭复根 1 3 2 2 i????, 即得方程" ' 0 y y y ? ??的通解为 1 2 ( cos sin ) x y e C x C x ?? ?? ? 12 1 2 3 3 ( cos sin ) 2 2 x e C x C x ?? ?。 2 .求方程" 2 ' 3 0 y y y ? ??满足初始条件 01 xy ??,0 ' 1 xy ??的特解。【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程, 由其特征方程 2 2 3 0 ? ?? ??得一对共轭复根 1 2 i????, 即得方程" 2 ' 3 0 y y y ? ??的通解为 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x y e C x C x ?? ?, 第8章微分方程与差分方程 二阶常系数线性微分方程****题解答 2 求导得 1 2 1 2 '