N阶矩阵方幂的求解方法.pdf

2009年第 11 卷第 6 期巢湖学院学报 .,
总第 99 期 Joumal of Chaohu College General Serial
N阶矩阵方幂的求解方法
戴泽俭
(巢湖学院数学系安徽巢湖 238000)
摘要:求矩阵的方幂是矩阵理论中一项很重要的内容, 在工程技术和很多应用矩阵的学科
中有着很广泛的应用. 通常是将求一般矩阵的方幂转化为求对角矩阵的方幂. 然而转化为
求对角矩阵的方幂比较困难. 本文通过实例给出了一般矩阵的方幂的几种常用求法.
关键词:矩阵;对角矩阵;方幂;相似
中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1672-2868(2009)06-0124-04
计算 n 阶矩阵 A 的方幂问题在数学的很多领域中有着重要的应用,对角矩阵的方幂一般比较好
求,通过求出对角矩阵的方幂常常可以简洁的求出 A .
1 对于秩为 1 的方阵 A,可将 A 分解成一个列向量与行向量的乘积,利用矩阵乘法的结合律求出
An.
n- 2 - 2 - 2 n
n n
例 1. 设 A= - 2 - 2 - 2 ,求 An .
n n
n- 2 - 2 - 2 n
n- 2 n
解可分解为 n n
A A=n- 2 (1,1,1)
n n
n- 2 n
故
n- 2 n n- 2 n n- 2 n n- 2 n
n n n n n n n n
An= - 2 [(1,1,1) - 2 ] [(1,1,1) - 2 ] [(1,1,1) ……- 2 ] [(1,1,1)
n n n n n n n n
n- 2 n n- 2 n n- 2 n n- 2 n
n- 2 n n- 2 n n- 2 - 2 - 2 n
n n n n n n
= - 2 (- 6)(- 6)……(- 6) (1,1,1)=(- 6)n- 1 - 2 (1,1,1)= (- 6)n- 1 - 2 - 2 - 2
n n n n n n
n- 2 n n- 2 n n- 2 - 2 - 2 n
.
收稿日期:2009- 08- 18
基金项目:巢湖学院自然科学基金资助项目(项目编号:XLY- 200824)
作者简介:戴泽俭(1981- ),男,安徽安庆人。讲师,研究方向:代数。
124
2 当方阵 A 可对角化时,可通过求与 A 相似的矩阵Λ的方幂来求
角化,故对于实对称矩阵一定可以用此法来求.
λ1 1 - 1 λ
λλ
例 A= - 2 4 - 2 ,求 A5.
λλ
λ- 2 2 0 λ
解 A 的特征多项式
λ- 1 - 1 1
2
λE-A = 2 λ- 4 2 =(λ- 1)(λ- 2) ,
2 - 2 λ
故的全部特征值为,
A λ1=1 λ2=λ3=2
对于求解齐次线性方程组,得出属于的一个特征向量 T
λ1=1 (E-A)x=0 1 α1=(1,2,2) .
对于,求解齐次线性方程组,得出属于的两个线性无关的特征