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概率统计( ZYH ) 节目录 大数定律 中心极限定理第六章大数定律与中心极限定理概率统计( ZYH ) 本章理论: 随机事件的概率随机事件频率的稳定性大量客观现象概率论的结论(前5章) 公理化体系大数定律抽象基础大量测量值的算术平均值也是稳定的大量随机变量服从正态分布中心极限定理数理统计为数理统计奠定基础概率统计( ZYH ) 大数定律?? 1 lim?????? nnn EY YP 定理 1(切比雪夫大数定律) 设X 1, X 2, …相互独立且其中分别有数学期望 EX i 及有公共上界的方差( 1,2, ) i DX K k ? ?? 11 n n i i Y X n ???作算术平均值,则)(0??????n EY Y Pnn或( 0) n n Y EY ?称依概率收敛于 11 n n i i EY EX n ??? 0,?? ?对有切比雪夫大数定律以严格的数学形式表明: 随着 n 的增大, 大量随机变量的算术平均值 Y n稳定于它的期望值 EY n 概率统计( ZYH ) 引理 1?? 21?? DX EX XP????(切比雪夫不等式)设随机变量 X 有数学期望 EX 或及方差 DX , 则有对,0????? 2?? DX EX XP???证( 只就连续型证明)设密度为 f (x ), 则有?????????? EX xxxf EX XPd)(??????? EX xxxf EX xd)( 2 2???????xxf EX xd)()( 1 2 2? 2? DX ?(切比雪夫不等式) (切比雪夫不等式) 为了证明切比雪夫定理,先证明切比雪夫不等式: 概率统计( ZYH ) 例1设X~ , 0, ( ) ! 0 , 0, nxx e x f x nx ?????????用切比雪夫不等式证明 1 )}1(20{?????n nnXP证 0 e d ! nxx EX x x n ????? 2 2 0 e d ! nxx EX x x n ?????所以}1| {| )}1(20{???????n EX XPnXP 2)1( 11????n n1??n n 2 2 2 ( ) ( 2)( 1) ( 1) DX EX EX n n n ? ?????? 1??n)2 )(1(???nn 1)n?? ?(这里 100 e ( 1) e d ! ! n n x x x x n x n n ?????? ??? ??? 2 1 00 e ( 2) e d