3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.doc

3. 空间向量的正交分解及其坐标表示在一次消防演****中, 一消防官兵特别行动小组接到命令, 由此往南 500 米, 再往东 400 米处的某大厦 5 楼发生火灾. 行动小组迅速赶到现场, 经过 1 个多小时的奋战, “南 500 米”“东 400 米”“ 5楼”三个量确定. 设e 1 是向南的单位向量, e 2 是向东的单位向量, e 3 是向上的单位向量. 问题 1 :这三个向量能作为该空间的一组基底吗? 提示: 能. 问题 2 :若每层楼高 3 米,请把“发生火灾”的位置由向量 p 表示出来? 提示: p= 500 e 1+ 400 e 2+ 15e . 空间向量基本定理定理: 如果三个向量 a,b,c 不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组{x,y, z} ,使得 p= xa+ yb+ zc ,其中{a,b,c} 叫做空间的一个基底, a,b,c 都叫做基向量. 2. 空间向量的正交分解及其坐标表示(1) 单位正交基底三个有公共起点 O的两两垂直的单位向量 e 1,e 2,e 3 称为单位正交基底. (2) 空间向量的坐标表示以e 1,e 2,e 3的公共起点 O 为原点, 分别以 e 1,e 2,e 3 的方向为 x轴,y轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz . 对于空间任意一个向量 p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O 重合,得到向量 OP ―→=p. 由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z} ,使得 p= xe 1+ ye 2+ ze 3. 把x,y,z 称作向量 p 在单位正交基底 e 1,e 2,e 3 下的坐标,记作 p=(x,y,z). (1) 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底. (2)0 与任意一个非零向量共线, 与任意两个非零向量共面, 所以三个向量不共面, 就隐含着它们都不是 0. (3) 一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 基底的判断[例 1]若{a,b,c} 是空间的一个基底, 试判断{a+b,b+c,c+a} 能否作为该空间的一个基底. [ 思路点拨] 判断 a+b,b+c,c+a 是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否则, 不能作为一个基底. [ 精解详析] 假设 a+b,b+c,c+a 共面, 则存在实数λ,μ使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+ a),∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c.∵{a,b,c} 为基底. ∴a,b,c 不共面. ∴ 1=μ, 1=λ, 0=λ+μ. 此方程组无解, ∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴{a+b,b+c,c+a} 可以作为空间的一个基底. [ 一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底, 关键是要判断它们是否共面. 如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. =a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c} 是空间的一个基底. 给出下列向量组: ①{a,b,x},②{x,y,z}, ③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}. 其中可以作为空间的基底的向量组有________ 个. 解析: 如图所设 a= AB ????,b=1 AA ????,c= AD ????,则 x