高三数学 知识点精析精练23 空间的距离.doc

2014 高三数学知识点精析精练 23 :空间的距离【复****要点】空间中距离的求法是历年高考考查的重点,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础,求其他几种距离一般化归为这三种距离. 空间中的距离主要指以下七种: (1) 两点之间的距离. (2) 点到直线的距离. (3) 点到平面的距离. (4) 两条平行线间的距离. (5) 两条异面直线间的距离. (6) 平面的平行直线与平面之间的距离. (7) 两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离. 七种距离之间有密切联系,有些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离: (1) 直接法, 即直接由点作垂线, 求垂线段的长.(2) 转移法, 转化成求另一点到该平面的距离.(3) 体积法. 求异面直线的距离: (1) 定义法, 即求公垂线段的长.(2) 转化成求直线与平面的距离.(3) 函数极值法,依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的. 【例题】【例 1】如图,已知 ABCD 是矩形, AB=a, AD=b, PA⊥平面 ABCD , PA =2c,Q是 PA 的中点. 求: (1) Q到 BD 的距离; (2) P 到平面 BQD 的距离. 解: (1) 在矩形 ABCD 中,作 AE⊥ BD,E 为垂足连结 QE,∵ QA⊥平面 ABCD ,由三垂线定理得 QE⊥ BE ∴ QE 的长为 Q到 BD 的距离在矩形 ABCD 中, AB=a, AD=b, ∴ AE=22ba ab?在 Rt△ QAE 中, QA=2 1 PA=c ∴ QE=22 222ba bac??∴Q到 BD 距离为 22 222ba bac??. (2) 解法一: ∵平面 BQD 经过线段 PA 的中点, ∴P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离在△ AQE 中,作 AH⊥ QE,H 为垂足∵ BD⊥ AE, BD⊥ QE,∴ BD⊥平面 AQE ∴ BD⊥ AH ∴ AH⊥平面 BQE ,即 AH为A 到平面 BQD 的距离. 在 Rt△ AQE 中, ∵ AQ=c, AE=22ba ab?∴ AH=22222)(bacba abc ??∴P 到平面 BD 的距离为 22222)(bacba abc ??解法二:设点 A 到平面 QBD 的距离为 h ,由 V A— BQD=V Q— ABD,得3 1 S△ BQD·h=3 1 S △ ABD· AQ h=22222)(bacba abc S AQ S BQD ABD????????【例 2】把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角,点 E、F 分别是 AD、 BC 的中点,点 O 是原正方形的中心,求: (1) EF 的长; (2) 折起后∠ EOF 的大小. 解:如图,以 O 点为原点建立空间直角坐标系 O— xyz ,设正方形 ABCD 边长为 a,则A (0 ,- 2 2 a ,0) ,B(2 2 a ,0,0) ,C (0,2 2 a ,0) , D (0,0, 2 2 a),E (0, -4 2 a,a),F(4 2 a,4 2 a ,0)2 1|||| , cos ,2 ||,2 || 8 04 2)4 2 )(4 2(4 20 )0,4 2,4 2( ),4 2,4 2,0()2( 2 3,4 3)4 20()4 24 2()04 2(||)1( 2 2222????????????????????????????? OF OE OF OE OF OE a OF a OE aaaaa OF OE aa OF aa OE a EF aaaaa EF ∴∠ EOF =120 ° 【例 3】正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1 ,求异面直线 A 1C 1与 AB 1 间的距离. 解法一:如图,连结 AC 1 ,在正方体 AC 1 中, ∵A 1C 1∥ AC,∴A 1C 1∥平面 AB 1C,∴A 1C 1 与平面 AB 1C 间的距离等于异面直线 A 1C 1与 AB 1 间的距离. 连结 B 1D 1、 BD ,设 B 1D 1∩A 1C 1=O 1, BD∩ AC=O ∵ AC⊥ BD, AC⊥ DD 1,∴ AC⊥平面 BB 1D 1D ∴平面 AB 1C⊥平面 BB 1D 1D ,连结 B 1O ,则平面 AB 1C∩平面 BB 1D 1D=B 1O 作O 1G⊥B 1O于G ,则 O 1G⊥平面 AB 1C ∴O 1G 为直线 A 1C 1 与平面 AB